数学图形之双曲抛物面

双曲抛物面又称马鞍面,它在笛卡儿坐标系中的方程为：

z = frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}.

其中x、y、z是平面直角坐标系三个坐标轴方向上的变量，a、b是常数。

本文将展示几种生成双曲抛物面算法和切图.使用自己定义语法的脚本代码生成数学图形.相关软件参见:数学图形可视化工具,该软件免费开源.QQ交流群: 367752815

(1)

vertices = dimension1:64 dimension2:64

x = from (-4) to (4) dimension1
z = from (-4) to (4) dimension2

y = x*x - z*z

(2)参数方程表示

#y = x*x/a/a - z*z/b/b

vertices = dimension1:64 dimension2:64

u = from (-3) to (3) dimension1
v = from (-3) to (3) dimension2

a = rand2(0.5, 2)
b = rand2(0.5, 2)

x = a*(u + v)
z = b*(u - v)
y = 2*u*v

(3)三角函数表示

vertices = D1:64 D2:64

u = from (0) to (2*PI) D1
v = from (0) to (3) D2

a = rand2(0.5, 1)

x = v*sin(u)
z = v*cos(u)
y = a*v*v*sin(u*2)

(4)乘法表示

如果把双曲抛物面

z = {x^2 over a^2} - {y^2 over b^2}

顺着+z的方向旋转π/4的角度，则方程为：

z = {1over 2} (x^2 + y^2) left({1over a^2} - {1over b^2} ight) + x y left({1over a^2}+{1over b^2} ight)

如果 $a=b$ ，则简化为：

z = {2over a^2} x y

最后，设 $a=sqrt{2}$ ，我们可以看到双曲抛物面

z = {x^2 - y^2 over 2}

与以下的曲面是全等的：

z = x y

因此它可以视为乘法表的几何表示。

vertices = dimension1:64 dimension2:64

x = from (-4) to (4) dimension1
z = from (-4) to (4) dimension2

y = x*z