一、引入特殊线性空间的必要性
在线性空间中，向量的基本运算金石线性运算，但是，若以解析几何中讨论过的通常三维向量空间R3作为线性空间的一个模型，就会发现在R3中诸如向量的长度、两个向量的夹角等度量概念，在线性空间的理论中还未得到反映。这些度量性质在很多实际问题中有着特殊的地位，这些度量性质在很多实际问题中有着特殊的地位。
二、Euclid空间的定义与性质
定义：
在原线性空间的基础上，满足更多的条件：给定的线性空间中，任意两个向量x与y，用（x，y）表示，满足四个条件：
（1）交换律：（x，y）=（y，x）
（2）分配率：（x，y+z）=（x，y）+（x，z）
（3）齐次性：（kx，y）=k（x，y）
（4）非负性：（x，x）≥0.当且仅当x=0，取等号
则称V为Euclid空间，简称欧式空间或实内积空间
无限维的情况：（f（t），g（t））=∫f（t）g（t）dt，对于实线性空间C（a，b）
矩阵内积：（A,B）=tr(AB-1)
注意到，内积运算和向量的线性运算是彼此无关的运算，所以无论内积如何规定，都不会影响实线性空间的维数。
性质：
（1）(x,ky)=k(x,y)
（2）(x,0)=(0,x)=0
（3）(∑ξixi，∑ηjyj)=∑ξiηj(xi,yi)
度量矩阵
三、向量长度、夹角
长度
长度又称模、范数，表示为|x|或||x||，根据非负性，它等于内积的平方根
性质
|kx|=|k| |x|
|x+y|≤|x|+|y|
单位向量
1/|x|*x(单位化或规范化)
向量夹角
cos<x,y>=(x,y)/|x| |y|
不等式：|(x,y)|≤|x| |y|，但且仅当x，y至少有一个是零向量或它们线性相关时，取等号
<x,y>=arccos(x,y)/|x| |y|
Schwarz不等式：
正交性（或垂直）
正交向量组（它们线性无关）->标准正交基（或法正交基）=>（xi,xj）=δij。当i=j时，δij=1,否则δij=0
Schmidt正交化
四、正交变换与正交矩阵
定义1：设V为欧式空间，T是V的一个线性变换，如果T保持V中任一个向量的长度不变，即有
(x,x)=(Tx,Tx)
那么称T是V的一个正交变换
定理1：线性变换T为正交变换的充要条件是，对于欧式空间V中任两个向量x，y都有
(x,y)=(Tx,Ty)
定义2：如果实方阵Q满足QTQ=I或Q-1=QT,则称Q为正交矩阵。
定理2：欧式空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
推论1：正交矩阵是非奇异的。
推论2：正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵。
推论3：两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。
注意：正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；但是，它在别的基下的矩阵可能是正交矩阵，也可能不是正交矩阵。
五、对称变换与对称矩阵
设T是欧式空间V的一个线性变换，且对V任意两个向量x，y都有
(Tx,y)=(x,Ty)
成立，则称T为V中的一个对称变换。
定理1：欧式空间的线性变换是是对称变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵。
定理2：实对称矩阵的特征值都是实数。
定理3：实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
注意：就实对称矩阵而言，属于同一特征值的线性无关的特征向量不一定是正交的。但是，可以使用Schmidt正交化方法将它们正交化。
六、酉空间
欧式空间是针对实数域R上的线性空间而言的，这里讲介绍的酉空间是一个特殊的复线性空间。酉空间的理论与欧式空间的理论很相近，有一套平行的理论。
定义：四个条件
内积定义
夹角
正交
Schmidt正交化
正交基和标准正交基
酉变换
酉矩阵
Hermite变换
Hermite矩阵：AH=A
Hermite矩阵的特征值都是实数
属于Hermite矩阵的特征值都是实数
属于Hermite矩阵的不同特征值的特征向量必定正交
七、几个定理
定理1：n阶矩阵正交（酉）相似于上三角矩阵
定义1：设A属于Cn×n，且等式
AHA=AAH
成立，则称A为正规矩阵
容易证明，正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵、是对称矩阵以及Hermite矩阵都是正规矩阵。此外，B=UHEU也是，其中E是对角矩阵。
定理2：
（1）设A属于Cn×n，则A酉相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵；
（2）设A属于Rn×n，且A的特征值都是实数，则A正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵；
推论：
（1）实对称矩阵正交相思雨对角矩阵
（2）设T是欧式空间Vn的对称变换，则在Vn中存在标准正交基y1,y2,...,yn,使T在该基下的矩阵为对角矩阵。
补充：（酉相似定义）