HDU5772 String problem（最大权闭合子图）

题目。。说了很多东西

官方题解是这么说的：

首先将点分为3类

第一类：Pij 表示第i个点和第j个点组合的点，那么Pij的权值等于w[i][j]+w[j][i]（表示得分）

第二类：原串中的n个点每个点拆出一个点，第i个点权值为 –a[s[i]] （表示要花费）

第三类：对于10种字符拆出10个点，每个点的权值为 -(b[x]-a[x])

那么我们可以得到一个关系图，对于第一类中的点Pij，如果想要选择Pij，你就必须要选中第二类中的点i和j，对于第二类中的点如果你想选中第i个点，其对应的字符s[i]，那么就必须选中第三类中s[i] 对应的点，因为每个种类的点第一次选中时花费是b[s[i]]，而第二类中花费都是a[s[i]],一定要补上b[s[i]]-a[s[i]]，而且只需要补上一次。

得到上面的关系图后然后就是普通的最大权闭合子图问题,直接求解即可。

仔细思考这个解法的正确性，会发现有个巧妙之处。

Pij表示组合，但是如果选择(1,2)和(2,3)这个组合，也必须选则(1,3)这个组合。因为原问题是将获得的子序列中累加所有字符对产生的收益，选择(1,2)和(2,3)，就说明序列是1,2,3，那么(1,3)的收益也要统计进去。

而在这个最大权闭合子图的模型里是能保证这种情况下(1,3)也会被选择的！因为(1,2)和(2,3)选择了那么就说明已经选择了对应的第二类和第三类有负收益的点，而这些点包含(1,3)被选前提所需的点！而(1,3)是正收益的，显然一定会选。

因此，这个解法就巧妙地正确了。

另外，最大权闭合子图构图的原理可以很直观地从最小割上去理解。

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<queue>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 #define INF (1<<30)
  7 #define MAXN 5120
  8 #define MAXM 1002120
  9 
 10 struct Edge{
 11     int v,cap,next;
 12 }edge[MAXM];
 13 int vs,vt,NE,NV;
 14 int head[MAXN];
 15 
 16 void addEdge(int u,int v,int cap){
 17     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap;
 18     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
 19     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=0;
 20     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
 21 }
 22 
 23 int level[MAXN];
 24 int gap[MAXN];
 25 void bfs(){
 26     memset(level,-1,sizeof(level));
 27     memset(gap,0,sizeof(gap));
 28     level[vt]=0;
 29     gap[level[vt]]++;
 30     queue<int> que;
 31     que.push(vt);
 32     while(!que.empty()){
 33         int u=que.front(); que.pop();
 34         for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 35             int v=edge[i].v;
 36             if(level[v]!=-1) continue;
 37             level[v]=level[u]+1;
 38             gap[level[v]]++;
 39             que.push(v);
 40         }
 41     }
 42 }
 43 
 44 int pre[MAXN];
 45 int cur[MAXN];
 46 int ISAP(){
 47     bfs();
 48     memset(pre,-1,sizeof(pre));
 49     memcpy(cur,head,sizeof(head));
 50     int u=pre[vs]=vs,flow=0,aug=INF;
 51     gap[0]=NV;
 52     while(level[vs]<NV){
 53         bool flag=false;
 54         for(int &i=cur[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 55             int v=edge[i].v;
 56             if(edge[i].cap && level[u]==level[v]+1){
 57                 flag=true;
 58                 pre[v]=u;
 59                 u=v;
 60                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
 61                 aug=min(aug,edge[i].cap);
 62                 if(v==vt){
 63                     flow+=aug;
 64                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
 65                         edge[cur[u]].cap-=aug;
 66                         edge[cur[u]^1].cap+=aug;
 67                     }
 68                     //aug=-1;
 69                     aug=INF;
 70                 }
 71                 break;
 72             }
 73         }
 74         if(flag) continue;
 75         int minlevel=NV;
 76         for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 77             int v=edge[i].v;
 78             if(edge[i].cap && level[v]<minlevel){
 79                 minlevel=level[v];
 80                 cur[u]=i;
 81             }
 82         }
 83         if(--gap[level[u]]==0) break;
 84         level[u]=minlevel+1;
 85         gap[level[u]]++;
 86         u=pre[u];
 87     }
 88     return flow;
 89 }
 90 
 91 char str[111];
 92 int ax[11],bx[11],w[111][111];
 93 int main(){
 94     int t,n;
 95 
 96     scanf("%d",&t);
 97     for(int cse=1; cse<=t; ++cse){
 98 
 99         scanf("%d",&n);
100         for(int i=0; i<n; ++i){
101             scanf(" %c",str+i);
102         }
103 
104         for(int i=0; i<10; ++i){
105             scanf("%d%d",ax+i,bx+i);
106         }
107         for(int i=0; i<n; ++i){
108             for(int j=0; j<n; ++j){
109                 scanf("%d",&w[i][j]);
110             }
111         }
112 
113         vs=(n-1)*n/2+n+10; vt=vs+1; NV=vt+1; NE=0;
114         memset(head,-1,sizeof(head));
115 
116         int cnt=0,tot=0;
117         for(int i=0; i<n; ++i){
118             for(int j=i+1; j<n; ++j){
119                 tot+=w[i][j]+w[j][i];
120                 addEdge(vs,cnt,w[i][j]+w[j][i]);
121                 addEdge(cnt,i+(n-1)*n/2,INF);
122                 addEdge(cnt,j+(n-1)*n/2,INF);
123                 ++cnt;
124             }
125         }
126         for(int i=0; i<n; ++i){
127             addEdge(i+(n-1)*n/2,vt,ax[str[i]-'0']);
128             addEdge(i+(n-1)*n/2,str[i]-'0'+(n-1)*n/2+n,INF);
129         }
130         for(int i=0; i<10; ++i){
131             addEdge(i+(n-1)*n/2+n,vt,bx[i]-ax[i]);
132         }
133 
134         printf("Case #%d: %d
",cse,tot-ISAP());
135     }
136     return 0;
137 }