土地购买（斜率优化dp）

题目描述

农夫 (John) 准备扩大他的农场,他正在考虑$ N(1 leqslant N leqslant 50,000)$ 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足((1 leqslant) 宽 (leqslant 1,000,000; 1 leqslant) 长 (leqslant 1,000,000)).

每块土地的价格是它的面积,但 (FJ) 可以同时购买多块土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果 (FJ) 买一块 (3 imes 5) 的地和一块 (5 imes 3)的地,则他需要付 (5 imes 5=25).

(FJ) 希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

输入格式

第 (1) 行：一个数: (N)

第 (2..N+1) 行：第 (i+1) 行包含两个数，分别为第 (i) 块土地的长和宽。

输出格式

第一行: 最小的可行费用。

样例

样例输入

4
100 1 15 15 20 5 1 100

样例输出

样例解释

共有 (4) 块土地，(FJ) 分 (3) 组买这些土地: 第一组: (100 imes 1), 第二组 (1 imes 100) , 第三组 (20 imes 5) 和 (15 imes 15) 每组的价格分别为 (100,100,300) , 总共 (500)。

数据范围与提示

对于 (50\%) 的数据 (n leqslant 1000)

对于 (100\%) 的数据 (n leqslant 50000)

数据有一定梯度

分析

题目中说选一堆土地的时候，只用最大的长和宽计算价值，那么我们可以先去重，也就是让包含的关系先处理掉，按照长度从小到大排序，利用一个单调栈来维护单调减的一堆序列，这样就去完了重（所谓的去重），这时候长度就是递增，宽度递减，那么我们只需要取一段区间的端点即可，转化成状态转移方程就是：

[f[i] = min(f[i],f[j-1] + len_j imes width_i) ]

转化一下柿子，变成 (f[j-1] = f[i] - len_j imes width_i)

最后这个式子就可以用来斜率优化了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int L=1<<20;
char buffer[L],*S,*T;
#define lowbit(x) (x & -x)
#define getchar() (S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T)?EOF:*S++)
#define inline __inline__ __attribute__((__always_inline__))
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define re register 
#define ll long long
const int maxn = 5e4+10;
ll f[maxn];
struct Node{
	ll w,l;
}jl[maxn];
ll staw[maxn];
int top;
ll stal[maxn];
ll q[maxn];
ll a[maxn],b[maxn];
inline ll read(){
	int s = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch == '-')f = -1;
		 ch = getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		s = s * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return s * f;
}
inline bool cmp(Node a,Node b){//排序
	if(a.l == b.l)return a.w < b.w;
	return a.l < b.l;
}
inline ll calc(int a,int b){//计算函数值
	return f[b] + staw[b+1] * stal[a];
}
inline bool jud(int x1,int x2,int x3){//计算斜率
	return (b[x3] - b[x1]) * (a[x2] - a[x1]) >= (b[x2] - b[x1]) * (a[x3] - a[x1]);
}
signed main(){
	freopen("A.in","r",stdin);
	freopen("A.out","w",stdout);
	re ll n = read();
	for(re int i = 1;i <= n;++i){
		jl[i].w = read();
		jl[i].l = read();
	}
	sort(jl+1,jl+n+1,cmp);
	for(re int i = 1;i <= n;++i){//单调栈去重，找出包含的情况
		while(top && jl[i].w >= staw[top])top--;
		staw[++top] = jl[i].w;
		stal[top] = jl[i].l;
	}
	re int head = 1,tail = 1;
	a[0] = staw[1];
	for(re int i = 1;i <= top;++i){//单调队列斜率优化
		while(head < tail && calc(i,q[head]) >= calc(i,q[head+1]))head++;
		f[i] = calc(i,q[head]);
		a[i] = staw[i + 1];
		b[i] = f[i];
		while(head < tail && jud(q[tail-1],q[tail],i))tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	printf("%lld
",f[top]);
	return 0;
}