伯努利数简单学习笔记

伯努利数

定义与公式

我们常用BiB_i定义第ii个伯努利数。

生成函数定义方式：
zez−1=∑n=0∞Bnznn! frac{z}{e^z-1}=sumlimits_{n=0}^infty B_nfrac{z^n}{n!}
这里的z∈Czin C（CC为复数域）
由于伯努利数是指数型函数的母函数，所以我们对exe^x进行泰勒展开即可得到。

前99项伯努利数：
B0=1   B1=−12   B2=16   B3=0   B4=−130B5=0   B6=142   B7=0   B8=−130   B9=0 B_0=1 B_1=-frac{1}{2} B_2=frac{1}{6} B_3=0 B_4=-frac{1}{30} \ B_5=0 B_6=frac{1}{42} B_7=0 B_8=-frac{1}{30} B_9=0

我们不难发现对于BnB_n，当BnB_n为奇数且不为11时，Bn=0B_n=0

其中有些时候定义B1=12B_1=frac{1}{2}，那么对应的生成函数只需改为zezez−1frac{ze^z}{e^z-1}即可。

递归定义方式：
Bn=[m=0]−∑k=0m−1(mk)Bkm−k+1 B_n=[m=0]-sumlimits_{k=0}^{m-1} binom{m}{k}frac{B_k}{m-k+1}
边界为B0=1B_0=1，[m=0][m=0]表示当m=0m=0时为11，否则为00。

简单应用

  • 自然数幂的前缀和

∑i=1nik=1k+1∑i=1k+1Ck+1iBk+1−i(n+1)i sum_{i=1}^ni^k=frac{1}{k+1}sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^iB_{k+1-i}(n+1)^i

  • 特殊的公式
    ∑k=0nCn+1kBk=0 sum_{k=0}^{n}C_{n+1}^kB_k=0

Bn=−1n+1(Cn+10B0+Cn+11+⋯+Cn+1n−1Bn−1) B_n=-frac{1}{n+1}(C_{n+1}^0B_0+C_{n+1}^{1}+cdots +C_{n+1}^{n-1}B_{n-1})

我们将生成函数的公式继续变形得到：

=z∑i=1∞zii!=1∑i=0∞zi(i+1)! =frac{z}{sum_{i=1}^{infty}frac{z^i}{i!}} \ =frac{1}{sum_{i=0}^{infty}frac{z^i}{(i+1)!}}
最后就变成了多项式∑i=0∞zi(i+1)!sum_{i=0}^{infty}frac{z^i}{(i+1)!}的逆元了，用多项式求逆（NTT）即可在O(nlogn)O(nlogn)的时间内预处理前nn项。

参考：

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原文地址：https://www.cnblogs.com/VictoryCzt/p/10053419.html