奇异值分解(SVD)

　　　　奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

　　　　我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

A x = λ x

　　　　其中A是一个 $n \times n$ 的实对称矩阵， $x$ 是一个 $n$ 维向量，则我们说 $λ$ 是矩阵A的一个特征值，而 $x$ 是矩阵A的特征值 $λ$ 所对应的特征向量。

　　　　求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的 $n$ 个特征值 $λ_{1} \leq λ_{2} \leq . . . \leq λ_{n}$ ,以及这 $n$ 个特征值所对应的特征向量 ${w_{1}, w_{2}, . . . w_{n}}$ ，，如果这 $n$ 个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

A = W Σ W^{- 1}

　　　　其中W是这 $n$ 个特征向量所张成的 $n \times n$ 维矩阵，而 $Σ$ 为这n个特征值为主对角线的 $n \times n$ 维矩阵。

　　　　一般我们会把W的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $| | w_{i} | |_{2} = 1$ , 或者说 $w_{i}^{T} w_{i} = 1$ ，此时W的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $W^{T} W = I$ ，即 $W^{T} = W^{- 1}$ , 也就是说W为酉矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成

A = W Σ W^{T}

　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 $m \times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

A = U Σ V^{T}

　　　　其中U是一个 $m \times m$ 的矩阵， $Σ$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个 $n \times n$ 的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足 $U^{T} U = I, V^{T} V = I$ 。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

　　　　那么我们如何求出SVD分解后的 $U, Σ, V$ 这三个矩阵呢？

　　　　如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到 $n \times n$ 的一个方阵 $A^{T} A$ 。既然 $A^{T} A$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

(A^{T} A) v_{i} = λ_{i} v_{i}

　　　　这样我们就可以得到矩阵 $A^{T} A$ 的n个特征值和对应的n个特征向量 $v$ 了。将 $A^{T} A$ 的所有特征向量张成一个 $n \times n$ 的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

　　　　如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m \times m$ 的一个方阵 $A A^{T}$ 。既然 $A A^{T}$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

(A A^{T}) u_{i} = λ_{i} u_{i}

　　　　这样我们就可以得到矩阵 $A A^{T}$ 的m个特征值和对应的m个特征向量 $u$ 了。将 $A A^{T}$ 的所有特征向量张成一个 $m \times m$ 的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

　　　　U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 $Σ$ 没有求出了。由于 $Σ$ 除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 $σ$ 就可以了。

　　　　我们注意到:

A = U Σ V^{T} \Rightarrow A V = U Σ V^{T} V \Rightarrow A V = U Σ \Rightarrow A v_{i} = σ_{i} u_{i} \Rightarrow σ_{i} = A v_{i} / u_{i}

　　　这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $Σ$ 。

　　　上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^{T} A$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而 $A A^{T}$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

A = U Σ V^{T} \Rightarrow A^{T} = V Σ^{T} U^{T} \Rightarrow A^{T} A = V Σ^{T} U^{T} U Σ V^{T} = V Σ^{2} V^{T}

　　　　上式证明使用了: $U^{T} U = I, Σ^{T} Σ = Σ^{2} 。$ 可以看出 $A^{T} A$ 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 $A A^{T}$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

　　　　进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

σ_{i} = \sqrt{λ_{i}}

　　　　这样也就是说，我们可以不用 $σ_{i} = A v_{i} / u_{i}$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $A^{T} A$ 的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

　　　　这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})

　　　　我们首先求出 $A^{T} A$ 和 $A A^{T}$

A^{T} A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array})

A A^{T} = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

　　　　进而求出 $A^{T} A$ 的特征值和特征向量：

λ_{1} = 3; v_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}); λ_{2} = 1; v_{2} = (\begin{array}{ccc} - 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array})

　　　　接着求 $A A^{T}$ 的特征值和特征向量：

λ_{1} = 3; u_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{array}); λ_{2} = 1; u_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ - 1 / \sqrt{2} \end{array}); λ_{3} = 0; u_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{3} \\ - 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \end{array})

　　　　利用 $A v_{i} = σ_{i} u_{i}, i = 1, 2$ 求奇异值：

(\begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}) = σ_{1} (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{array}) \Rightarrow σ_{1} = \sqrt{3}

(\begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} - 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}) = σ_{2} (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ - 1 / \sqrt{2} \end{array}) \Rightarrow σ_{2} = 1

当然，我们也可以用 $σ_{i} = \sqrt{λ_{i}}$ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$ 和1.

最终得到A的奇异值分解为：

A = U Σ V^{T} = (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \\ 2 / \sqrt{6} & 0 & - 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{6} & - 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{3} \end{array}) (\begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\ - 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{array})

4. SVD的一些性质　

　　　　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

　　　　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

A_{m \times n} = U_{m \times m} Σ_{m \times n} V_{n \times n}^{T} \approx U_{m \times k} Σ_{k \times k} V_{k \times n}^{T}

　　　　其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $U_{m \times k}, Σ_{k \times k}, V_{k \times n}^{T}$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

　　　　由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

　　　　在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^{T} X$ 的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^{T} X$ ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

　　　　注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 $X^{T} X$ 最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $X^{T} X$ ，也能求出我们的右奇异矩阵 $V$ 。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

　　　　另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

　　　　假设我们的样本是 $m \times n$ 的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵 $X X^{T}$ 最大的d个特征向量张成的 $m \times d$ 维矩阵U，则我们如果进行如下处理：

X_{d \times n}^{'} = U_{d \times m}^{T} X_{m \times n}

　　　　可以得到一个 $d \times n$ 的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的 $m \times n$ 维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。　　　　

6. SVD小结　

　　　　SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

转载自刘建平Pinard
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html