XXXII.CF1491H Yuezheng Ling and Dynamic Tree
首先，相信大家都做过[HNOI2010]弹飞绵羊这道经典原题，而这题显然是那题的增强版。
众所周知，该原题有两种常见解法：LCT或分块。凭直觉发现LCT不可能处理这种区间修改问题，于是我们考虑分块。
分块的话，就需要维护一个位置在跳完它所在的那个块后的落点。但这里为了方便求LCA，所以我们借鉴树剖的思想，令 \(go_x\) 为离开块前最后一个到达的节点，令 \(len_x\) 表示其在块内跳的次数。
我们发现，若一个块被修改了超过块长次，则其中所有元素的 \(go_x\) 都必定为其自身，\(len_x\) 都必定为 \(0\)，就可以直接打 tag 维护里面所有元素的 \(a_x\) 了。
于是对于每次修改，我们暴力重构未满的块，若块长是 \(\sqrt{n}\)，则一共 \(\sqrt n\) 个块，每块被修改 \(\sqrt n\) 次，每次修改 \(\sqrt n\) 个元素，总复杂度 \(O(n\sqrt n)\)，可以接受。
下面考虑求LCA。明显，我们可以先跑出从 \(x,y\) 到根的路径上所有需要的点（指所有 \(go_x\) 及其父亲）的 \(dep\)，然后就可以像树剖一样处理，直到两个东西的 \(go\) 相同。此时它们必在同一块内，直接暴力即可。此部分复杂度 \(O(\sqrt n)\)。
故总复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int BBB=500;
int n,m,a[100100],BLK[100100],go[100100],len[100100],dep[100100],lp[510],tag[510],num;
bool fin[510];
void rebuild(int id,int L,int R,int x){
if(L<=lp[id]&&R>=lp[id+1]-1&&fin[id]){tag[id]+=x,tag[id]=min(tag[id],n);return;}
fin[id]=true;
for(int i=lp[id];i<lp[id+1];i++){
a[i]=max(0,a[i]-tag[id]);
if(L<=i&&i<=R)a[i]=max(0,a[i]-x);
if(a[i]<lp[id])go[i]=i,len[i]=0;else go[i]=go[a[i]],len[i]=len[a[i]]+1,fin[id]=false;
}
tag[id]=0;
}
#define fa(x) max(a[x]-tag[BLK[x]],0)
int chain(int x){
if(x==0)return dep[x]=0;
dep[go[x]]=chain(fa(go[x]))+1;
if(!go[x])dep[go[x]]=0;
return dep[x]=dep[go[x]]+len[x];
}
int read(){
int x=0;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return x;
}
void modify(){
int L=read()-1,R=read()-1,x=read();
for(int i=BLK[L];i<=BLK[R];i++)rebuild(i,L,R,x);
}
bool lab[100100];
void LCA(){
// printf("BEF:%d\n",dep[0]);
int x=read()-1,y=read()-1;
chain(x),chain(y);
// printf("AFT:%d\n",dep[0]);
while(go[x]!=go[y]){
if(dep[go[x]]<dep[go[y]])swap(x,y);
x=fa(go[x]);
}
lab[0]=true;
for(int i=x;i&&BLK[i]==BLK[x];i=fa(i))lab[i]=true;
for(int i=y;BLK[i]==BLK[y];i=fa(i))if(lab[i]){printf("%d\n",i+1);break;}
for(int i=x;i&&BLK[i]==BLK[x];i=fa(i))lab[i]=false;
}
int main(){
// freopen("I.in","r",stdin);
n=read(),m=read(),a[0]=-1;
for(int i=1;i<n;i++)a[i]=read()-1,BLK[i]=i/BBB;
lp[num=BLK[n]=BLK[n-1]+1]=n;for(int i=0;i<num;i++)lp[i]=i*BBB;
for(int i=0;i<num;i++)rebuild(i,-1,-1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)if(read()==1)modify();else LCA();
return 0;
}