[AGC013E] Placing Squares

CXLIII.[AGC013E] Placing Squares

关键是将问题从抽象的“正方形面积”转为具象的形式：一段长度为 \(d\) 的区间，有两个不同的小球要放进去，则总放置方案就是 \(d^2\)，且不同的区间间方案是通过乘法原理结合的，刚好是题目中 \(\prod d^2\) 的形式。

于是我们可以设计DP：设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个格子中，最后一段中有 \(j\) 个球。明显 \(j\in[0,2]\)。

常规的位置可以直接矩阵快速幂解决；然而对于题目中给出的特殊位置，需要用特殊的矩阵处理。

因此复杂度 \(O(3^3m\log n)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[100100];
const int mod=1e9+7;
struct Matrix{
	int g[3][3];
	int*operator[](int x){return g[x];}
	Matrix(){memset(g,0,sizeof(g));}
	friend Matrix operator*(Matrix x,Matrix y){
		Matrix z;
		for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++)for(int k=0;k<3;k++)(z[i][j]+=1ll*x[i][k]*y[k][j]%mod)%=mod; 
		return z;
	}
}A,B,R;
Matrix ksm(Matrix x,int y){
	Matrix z;
	z[0][0]=z[1][1]=z[2][2]=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x)if(y&1)z=z*x;
	return z; 
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);a[m+1]=n;
	A[0][1]=2,A[0][2]=1,A[1][2]=1;
	A[2][0]=1,A[2][1]=2,A[2][2]=2;
	A[0][0]=A[1][1]=1;
	B[0][1]=2,B[0][2]=1,B[1][2]=1;
	B[0][0]=B[1][1]=B[2][2]=1;
	R=ksm(A,a[1]);
	for(int i=1;i<=m;i++)R=R*B,R=R*ksm(A,a[i+1]-a[i]-1);
	printf("%d\n",R[0][2]);
	return 0;
}