[LeetCode] 204. Count Primes 解题思路

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

问题：找出所有小于 n 的素数。

题目很简洁，但是算法实现的优化层次有很多层。其中最主要思想的是采用 Sieve of Eratosthenes 算法来解答。

大思路为：

• 找出 n 范围内所有合数，并做标记。
• 未做标记的即为素数，统计未做标记的数个数即为原题目解。

如何找到 n 范围内所有合数？

将第一个素数 2 赋值给 i。

当 i 小于 n 时：（2）

• 对于以确定的素数 i ,将 i 的全部倍数标记为合数。（1）
• 离 i 最近的下一个未被标记为合数的数即为素数。将下一个素数赋值给 i .

上面算法有可以优化的地方：

 (1)步骤找合数，无需从 2 开始算 i 的倍数，而是从 i 倍开始算，即 i*i。举个例子，当 i 为 5 时， 5*2, 5*3, 5*4 的记号，已经在 i 分别为 2,3,4的时候做了。所以，可以直接从 i 倍开始算。相应地，(2)步骤也可以优化 “为 i*i < n 时”。

    int countPrimes(int n) {
        
        vector<bool> res(n, true);
        
        for(long i = 2; i * i < n ; i++){
            if(res[i] == false){
                continue;
            }
            
            long square = i*i;
            for(long k = 0; k * i + square < n ; k++){
                res[k * i + square] = false;
            }
        }
        
        int cnt = 0;
        for(int i = 2; i < n ; i++){
            cnt += res[i];
        }
        return cnt;
    }