牛顿迭代法解非线性方程（组）----迭代原理介绍和迭代公式推导

 

       在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。牛顿迭代法是一种常用方法。下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。

 

1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理

       以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得

       f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)

      所以方程可写成

      f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0

       其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）

       x = x0 - f(x0) / f'(x0)

       其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：

        x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k)) 

       根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。

       第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。

       可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。下图中迭代从x0到x1是在靠近真实解，但x2却反而远离真实解。

       这也是牛顿拉夫逊迭代法在解非线性方程（组）问题时，要求初值选定尽量接近真实解得原因。

 

2.二元非线性方程组的牛顿迭代公式

       可以看出，对二元非线性方程组的每一个方程分别Taylor展开并推导相对来说麻烦了一些，但是也是可接受的。但是对于三元及更多元的非线性方程组来说，分别对每一个方程进行Taylor展开最后求解多元线性方程组也是非常复杂的。所以用矩阵的形式，根据牛顿迭代的原理和意义进行推导，能使得推导过程和表达式更简单。

 

3.多元函数方程组迭代