bzoj千题计划250：bzoj3670: [Noi2014]动物园

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3670

法一：KMP+st表

抽离nxt数组，构成一棵树

若nxt[i]=j,则i作为j的子节点

那么num[i] 就是i到根节点的路径上，所有<=i/2 的节点的个数

这棵树的点随深度的递增而增大

所以用st表存这棵树

st 表开[logn][n]，常数优化求st表的过程

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define N 1000001

using namespace std;

const int mod=1e9+7;

char s[N];
int len;

int f[N];

int dep[N],st[21][N];
int num[N];

void get_next()
{
    int j;
    for(int i=1;i<len;++i)
    {
        j=f[i];
        while(j && s[i]!=s[j]) j=f[j];
        f[i+1]= s[j]==s[i] ? j+1 : 0;
    }
}

void solve()
{
    for(int i=1;i<=len;++i) st[0][i]=f[i],dep[i]=dep[f[i]]+1;
    int lim=1.0*log(len)/log(2);
    for(int j=1;j<=lim;++j) 
        for(int i=1;i<=len;++i)
            st[j][i]=st[j-1][st[j-1][i]];
    int now;
    for(int i=1;i<=len;++i)
    {
        now=i;
        for(int j=lim;j>=0;--j)
            if(st[j][now]*2>i) now=st[j][now];
        num[i]=dep[now]-1;
    }
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=len;++i) ans=1LL*ans*(num[i]+1)%mod;
    printf("%d
",ans);
}

int main()
{
    //freopen("data.in","r",stdin);
    //freopen("my.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s",s);
        len=strlen(s);
        get_next();
        solve();
    }
}

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法二：kmp 变形

求一个数组cnt[i] ，前i个字符构成的字符串中，既是它的后缀同时又是它的前缀的子串个数

即原题中的num[i] 去掉不能重叠的限制

那么num[i] 就是k从nxt[i]往前跳，跳到的第一个满足k*2<=i 的cnt[k]

#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

#define N 1000001

const int mod=1e9+7;

char s[N];
int len;

int f[N],cnt[N];

void getnxt()
{
    int ans=1;
    len=strlen(s+1);
    cnt[1]=1;
    int j=0,k;
    for(int i=2;i<=len;++i) 
    {
        while(j && s[i]!=s[j+1]) j=f[j];
        if(s[j+1]==s[i]) j++;
        f[i]=j;
        cnt[i]=cnt[j]+1;
    }
}

void solve()
{
    int ans=1;
    int k=0;
    for(int i=2;i<=len;++i)
    {
        while(k && s[k+1]!=s[i]) k=f[k];
        if(s[k+1]==s[i]) k++;
        while(k*2>i) k=f[k];
        ans=1LL*ans*(cnt[k]+1)%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
}

int main()
{
//    freopen("zoo.in","r",stdin);
//    freopen("zoo.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s",s+1);
        getnxt();
        solve();
    }
}

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法三：哈希+二分+差分

（本思路来自myj，ORZZZZZZ）

对于每一个i，求一个以i为后缀左端点，满足既是后缀又是前缀的最大的后缀（前缀）长度

设其为t，这可以哈希+二分求

那么num[i]~num[i+t-1] 都会有一个贡献

差分，求前缀和即可得num数组

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef unsigned long long ll;
const int mod1=29;
const int mod2=37;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e6+5;
int T,n,num[maxn];
ll Hash1[maxn],Hash2[maxn],hpos1[maxn],hpos2[maxn];
char str[maxn];
inline int getlen(int x)
{
    int l=1,r=std::min(n-x+1,(x-1)*2-x+1),mid,res=0;
    while(l<=r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if(Hash1[mid]==(Hash1[x+mid-1]-Hash1[x-1]*hpos1[mid])
                &&Hash2[mid]==(Hash2[x+mid-1]-Hash2[x-1]*hpos2[mid]))
        {
            res=mid;
            l=mid+1;
        }
        else
            r=mid-1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    hpos1[0]=hpos2[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        hpos1[i]=hpos1[i-1]*mod1;
        hpos2[i]=hpos2[i-1]*mod2;
    }
    std::cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%s",str+1);
        n=strlen(str+1);
        num[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            num[i]=0;
            Hash1[i]=Hash1[i-1]*mod1+str[i]-'a'+1;
            Hash2[i]=Hash2[i-1]*mod2+str[i]-'a'+1;
        }
        for(int i=2,t;i<=n;i++)
        {
            t=getlen(i);
            num[i]++;
            num[i+t]--;
        }
        ll res=1,now=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            (res*=(now+=num[i]))%=mod;
        std::cout<<res<<std::endl;
    }
    return 0;
}

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3670: [Noi2014]动物园

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MB
Submit: 3320 Solved: 1798
[Submit][Status][Discuss]

Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

Input

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

Output

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

3
aaaaa
ab
abcababc

Sample Output

36
1
32

HINT

n≤5,L≤1,000,000