特征
定义：设R是一个环，如果存在一个最小正整数 p 使得对任意a(in)R，都有：
pa=a+(cdots)+a=0
则称环R的特征为p，如果不存在这样的正整数，则称环R的特征为0
定理：
1.设含幺环R的特征c (
e) 0，则 c 是满足 c(1_R=0)的最小正整数
2.有限环的特征必然有一个特征，或者说有限环的特征必不为0
3.如果R是含幺环，并且存在a,b(in)R满足ab=ba则，
((a+b)^n=Sigma_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i})
4.含幺交换环特征是素数p，则((a+b)^p=a^p+b^p)
域
定义：如果K对加法构成一个交换群，并且K*=K(setminus){0}也对乘法构成一个交换群，那么称K是一个域
定理：如果域的特征不为零，则其特征必为素数
证明.
设域K的特征为 p，p ( e) 0。
1.如果p为合数，则存在(1<p_1,p_2<p)，使得(p=p_1cdot p_2)，则
((p_11_k)(p_21_k)=(p_1cdot p_2)1_k=0)
而(p_11_k)和(p_21_k)都是域K中的一个元素，并且K中没有零因子
所以有(p_11_k=0)或(p_21_k=0)，但这与p是K的特征的前提矛盾
所以p不能是合数
2.如果p=1，那么就有(1_k=0_k)，这与K是域的前提矛盾
综上，p必然是一个素数
定理：设域F的特征为p，则对任意的a(in)F，a ( e) 0，m(in)Z，则ma=0的充要条件是：p | m
证明.
必要性显然成立.
充分性：
令m=np+r，n(in)Z，0(le)r<p，则
(ma=(ma)1_F=(m1_F)a=0)
(ecause a e 0)且 F 中没有零因子
( herefore m1_F=0)
((np+r)1_F=(np)1_F+r1_F=n(p1_F)+r1_F=0+r1_F=0)
(r1_F=0)
这与 p 是F的特征的前提矛盾
定理：有限域的阶只能是素数幂，并且对任何一个素数幂整数Q都有一个阶为Q的有限域。
定理：两个阶相同的域必然同构
定理：设(F_q)是一个q阶的有限域，则(F_qsetminus){0}对于乘法构成一个循环群
证明.
(ecause F_q)是一个域
( herefore F_qsetminus){0}对于乘法也构成一个阶为q-1有限群
令F' = (F_qsetminus){0}，则(forall ain F', aF' = F')
则(prod_{iin aF'} i=prod_{jin F'} j)
(a^{q-1}prod_{jin aF'}j=prod_{jin aF'}j)
(a^{q-1}=1)
所以(F_qsetminus){0}的阶为q-1
设元素a的阶为ord(a)，则ord(a) | q-1
令F(d)表示F'中阶为d的元素的个数
则(Sigma_{dmid (q-1)} F(d)=q-1)
将(x^d=1)的解表示成集合{(a,a^1,dots,a^{d-1})}
而在集合{(a,a^1,dots,a^{d-1})}中，由定理(ord(a^n)=frac{ord(a)}{(n,ord(a))}=frac{d}{(n,d)})可知，阶为d的元素个数为(varphi(d))
如果F'中不存在阶为d的元素，那么F(d)=0
( herefore F(d)levarphi(d))
而(Sigma_{dmid(q-1)}varphi(d)=q-1)
( hereforeSigma_{dmid(q-1)}(varphi(d)-F(d))=0)
( herefore)对所有能够整除q-1的整数d都有，F(d)=(varphi)(d)
所以F(q-1) = (varphi)(q-1) ( e) 0
(exists gin F',ord(g)=q-1)
( herefore F'=lbrace g^0,g^1,dots, g^{q-2} brace)
所以F'是一个循环群
多项式环
设R是整环，x是一个变量，则R上形为：(a_nx^n+cdots+a_1x+a_0, a_iin R)的元素称为R上的多项式
设f(x)=(a_nx^n+cdots+a_1x+a_0,a_n
e 0)是整环R上的多项式，则称多项式f(x)的次数为n，记为deg f =n
多项式上的运算：
记整环R上的多项式集合为R[x]，则对于多项式的加法和乘法，R[x]也分别构成一个整环，其加法的单位元为0，乘法的单位元为1。
多项式整除与不可约多项式：
设f(x)，g(x)是整环R上的任意两个多项式，其中g(x) (
e) 0，如果存在一个多项式q(x)使得f(x)=q(x)(cdot)g(x)，则称g(x)整除f(x)或者f(x)被g(x)整除.
记作g(x) (mid) f(x)，称g(x)为f(x)的因式，f(x)为g(x)的倍式。
多项式整除和整数的整除有着类似的性质，比如整除的传递性，以及如果h(x)是f(x)和g(x)的公因式，那么h(x)能整除任意的s(x)·f(x)+t(x)·g(x)
不可约多项式：设f(x)是整环R上的非常数多项式，如果除了1和f(x)外，f(x)没有其他非常数因式，则称f(x)为不可约多项式，否则称为合式。
不可约多项式其实就对应于整数中的素数，所以对于不可约多项式也有类似的Eratoshene筛法：
设f(x)是域K上的多项式，如果对所有的不可约多项式p(x)，deg p (le) (frac{1}{2})deg f，都有p(x) (
mid) f(x)，则f(x)一定是不可约多项式
实例：(forall f(x) in F_2[x]) f(x)被x整除当且仅当其常数项为0，被x+1整除当且仅当其非零系数项恰有偶数个
多项式欧几里得除法：
设f(x)=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0)，g(x)=(x^m+cdots+b_1x+b_0)是整环R上的两个多项式，则一定存在多项式q(x)和r(x)使得
f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，其中deg r < deg g
实例：设(F_7[x])上的两个多项式f(x)=(6x^2+3x+1)和g(x)=4x+1，求q(x)和r(x)满足f(x)=q(x)·g(x)+r(x)
f(x)=(5x+3)·g(x)+4
( herefore q(x)=5x+3,r(x)=4)
推论：一阶多项式g(x)=x-a能够整除f(x)的充要条件是f(a)=0
此外，类比整数除法可以定义出多项式的最大公因式、最小公倍式、多项式广义欧几里得除法以及贝祖等式
多项式同余
设m(x)是多项式环上的一个首一多项式，有两个多项式f(x)，g(x)，如果m(x) | f(x)-g(x)，则称f(x)和g(x)同余，记作f(x)(equiv)g(x) (mod m(x))
和整数同余一样，a(x)(equiv)b(x) (mod m(x))的充要条件是存在多项式s(x)满足a(x)=b(x)+s(x)·m(x)
此外，多项式的同余关系仍然是一个等价关系，即多项式的同余关系具有自反性、对称性以及传递性，而且多项式同余也具有保运算性
定理：设p(x)是K[x]中的多项式，则<p(x)>={f(x)|f(x)(in)K[x],p(x)|f(x)}是K[x]中的理想，由此得到商环K[x]/<p(x)>，该商环上的运算法则为
加法：f(x)+g(x)=(f+g)(x) mod p(x)
乘法：f(x)·g(x)=(f·g)(x) mod p(x)
域的扩张
定义：设F是一个域，如果K是F的子域，则称F为K的扩域
如果F是K的扩域，则(1_F=1_K)，而且，F可作为K上的线性空间，事实上，对任意(alpha,etain F,kin K)有，(alpha+etain K,k·ain K)，用[F:K]表示F在K上的线性空间的位数，称F为K的有限扩域或无限扩域，如果[F:K]是有限的或无限的
定理：设E是F的扩域，F是K的扩域，则[E:K] = [E:F][F:K]
代数数与超越数
设R是一个整环，K是包含R的一个域，F是K的一个扩域
1）对于F中的某个元素a，如果存在一个非零多项式f(in)R[x]使得f(a)=0，则称a为整环R上的代数数，如果这个多项式的最高次项系数为1，则称a为代数整数
2）对于F中的某个元素a，如果不存在任何非零首一多项式f(in)R[x]使得f(a)=0，则称a为整环R上的超越数
如果F的每个元素都是K上的代数数，则称F为K上的代数扩张；如果F中至少有一个元素是K上的超越数，则称F为K上的超越扩张
**有限域的构造方法：任给一个素数p和一个正整数n，在域(F_p)上任取一个n次不可约多项式p(x)（这一步一般都不太容易，有时甚至是困难的），则域(F_p)上的多项式环(Z_p[x])的商环(Z_p[x]/<p(x)>)就是一个(p^n)阶的有限域。
实例：(F_2)={0,1}是一个有限域，构造(F_{2^4}):
(F_2[x])上的4阶不可约多项式有：(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1,x^4+x^3+1,x^4+x+1)，任取一个不可约多项式：(x^4+x+1)，则
GF((2^4))={0,1,(x,x^2,x^3,x+1,x^2+x,x^3+x^2,x^3+x+1,x^2+1,x^3+x,x^2+x+1,x^3+x^2+x,x^3+x^2+x+1,x^3+x^2+1,x^3+1)}