子群的生成
定义：设G是一个群，X是G的一个子集，设({H_i }_{i in I})是G的包含X的所有子群，则(igcap_{iin I}H_i)构成G的一个子群，叫做G的由X生成的子群，记为
证明.
(forall a,bin igcap_{iin I}H_i, a,bin H_i,forspace allspace iin I)
由于(H_i)是各自为一个群，则(ab^{-1}in H_i,forspace allspace iin I)
( herefore ab^{-1}inigcap_{iin I}H_i)
( herefore igcap_{iin I}H_i)是G的一个子群
Notation： X的元素称为子群
下面给出生成子群中元素的显示表示：
设G是一个群，X=<(a_1,cdots,a_t)>是G的一个子集则，
元素的阶：设G是一个群，a(in)G，则子群<(a)>的阶称为元素a的阶，记为ord<(a)>。
事实上，元素a的阶，ord<(a)>，就是满足(a^n=e)的最小正整数 n。
证明：满足ord(a) > 2的元素 a 的个数一定是偶数。
当(a=a^{-1})时，(a^2=e)，则 ord(a) = 2
所以满足 ord(a)>2 的元素a，都满足(a e a^{-1})
设ord(a) = n
((a^{-1})^n = (a^n)^{-1}=e^{-1}=e)
假设(exists n', 1le n' <n)使得，((a^{-1})^{n'}=e)
则：(a^{n'}=((a^{-1})^{-1})^{n'}=((a^{-1})^{n'})^{-1}=e^{-1}=e)
而这与ord(a)=n的前提相违背
所以(ord(a^{-1})=ord(a)=n)
综上所述，一个群中的元素的阶如果大于2，那么这个元素与它的逆元一定是不相同的，并且与逆元的阶是相等的。
所以满足ord(a) > 2的元素都是成对存在的。
循环群
在讨论群的结构时，循环群是最为简单的一种群的结构。
由上面对循环群的描述，循环群可以用集合的形式表示为：<(a)>={(a^n|nin Z)}
也就是说循环群中的每一个元素都可以写成a的n次幂的形式，其中a(in)G，n是一个整数。
定理：由整数上的加法构成的群Z，它的每一个子群H都是循环群，并且有H=<0>或H=<(m)>=mZ={km|k(in)Z}，其中m是H中的最小正整数。并且如果H( e)<0>，则H是无限的。
证明.
当H=<0>={0}时，由于0是整数加法群的单位元，所以H是Z的一个子群。
当H( e)<0>时，设(ain H,a^{-1}=-ain H)，所以H中存在正整数的，设H中的最小的正整数为m，不妨假设a>0，则(exists)r(in)Z，使得 a = qm + r，其中q(in)Z，0(le)r<m。
如果r ( e) 0，则r= a - qm =a + q(-m) (in) H（群的运算封闭性），这与m是H中最小的正整数的前提违背，所以r=0。而(forall ain H,a=km,kin Z)，所以H是循环群。
群的进一步性质：设G是一个群，a(in)G，则
1.当<(a)>是无限群时，有：
i)(a^k=e)，当且仅当k=0
ii)元素(a^k(kin Z))两两不等
证明.
考虑加群Z到群G的映射(f:nmapsto a^n)，不难证明 f 是同态。
则由同态分解定理可得：(Z/ker(f)cong f(Z)=<)a(>)
而由前面的定理可知，ker(f)作为Z的子群要么是<0>要么是=mZ。
(ecause)<(a)>是无限的
( herefore)ker(f)=<0>，并且<(a)>与Z/ker(f)是一对一的关系
2.当<(a)>是有限群时，设ord(a)=m，此时有：
i)m是使得(a^m=e)的最小正整数
ii)(a^k=e)，当且仅当 m | k
iii)(a^r=a^k)，当且仅当r(equiv)k(mod m)
iv)元素(a^k(kin Z/mZ))两两不等
v)<(a)>={(a,a^2,cdots,a^{m-1},a^m=e)}
vi)对任意整数1(le)d(le)m，有(ord(a^d)=frac{m}{(d,m)})
证明.
同样的，构造映射(f:nmapsto a^n)，则(Z/ker(f)cong f(Z)=<)a(>)
而这里<(a)>是有限的，并且ord(a)=m
所以m是使得(a^m=e)的最小正整数
而(a^k=e)等价于(kin ker(f))，等价于k | m，相似的，(a^r=a^k)等价于>(r-kin ker(f))，等价于r(equiv)k(mod m)
因为Z/ker(f)与<(a)>是一一对应的，所以(a^k(kin Z/mZ))两两不等
最后一个性质：
对于群(<a^d>)，((a^d)^k=e)等价于(dkin ker(f))，等价于m|dk，等价于(frac{m}{(d,m)} | frac{d}{(d,m)}k)，显然(frac{m}{(d,m)})与(frac{d}{(d,m)}互素)，所以由此可以得到(frac{m}{(d,m)}|k)
因此(ord(a^d)=frac{m}{(d,m)})
循环群的性质：设G是一个循环群.
i)如果G是无限的，则G的生成元为(a)或(a^{-1}).
ii)如果G是有限阶m，则(a^k)是G的生成元当且仅当(k,m)=1.
定理：每个无限循环群同构于加群Z，每个阶为m的有限群同构于加群Z/mZ.
这个定理同样可以通过前面构造从整数加群到循环群G的同构映射而得到证明。
置换群
定义：设S={1,2,...,n}，称S到其自身的映射σ是一个置换，如果σ是双射，即
(sigma:S
ightarrow S) ((kmapsto i_k))
通常将 n 元置换σ写成((egin{matrix} 1&2&cdots&n \sigma(1)&sigma(2)&cdots&sigma(n) end{matrix}))
置换的乘法：设(sigma)和(sigma')是S上的两个置换，则它们的乘积(sigmasigma')也是S上的一个置换，且((sigmasigma')(i)=sigma(sigma'(i)))
如果把置换看作S到自身的函数，则置换乘法就是函数复合运算。
例：令(sigma=(egin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \ 6&5&4&2&1&3 end{matrix}))和(sigma'=(egin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \ 5&6&4&2&3&1 end{matrix}))是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的置换，则(sigmasigma'=(egin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \ 1&3&2&5&4&6 end{matrix}))
即先做(sigma')的置换，再做(sigma)的置换
置换的逆变换：设(sigma=(egin{matrix} 1&2&cdots&n \ sigma(1)&sigma(2)&cdots&sigma(n) end{matrix}))，则其逆变换为(sigma^{-1}=(egin{matrix} sigma(1)&sigma(2)&cdots&sigma(n) \ 1&2&cdots&n end{matrix}))
置换群：n元置换全体组成的集合(S_n)关于置换乘法构成一个群，其阶为(n!).
轮换：设σ是一个n元置换，如果存在I={(i_1,i_2,ldots,i_n)}(subset){1,2,...,n}，使得(sigma(i_j)=i_{j+1},sigma(i_k)=i_1)，其中j=1,2,..,k-1，并且对任意(jin){1,2,...,n}I，都有(sigma(j)=j)，那么称σ是一个k-轮换，记作((i_1,i_2,...,i_k))。
定理：任意置换都可以表示成为不相交的轮换的乘积，且在不考虑乘法顺序的情况下，该表示是唯一的。
例：令(sigma=(egin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \ 6&5&1&2&4& 3 end{matrix}))是S={1, 2, 3, 4, 5, 6}上的一个置换，则σ可以表示为两个轮换的乘积，即
((egin{matrix} 1&2&3&4&5&6 \ 6&5&1&2&4& 3 end{matrix})=(1,6,3)(2,5,4))
轮换的乘积例题
求：(1, 3)(1, 2)
解：设(sigma_1=(1, 3), sigma_2=(1,2))
(1, 3)(1, 2) = (sigma_1 sigma_2)
(sigma_1sigma_2(1)=sigma_1(sigma_2(1))=sigma_1(2)=2)
(sigma_1sigma_2(2)=sigma_1(sigma_2(2))=sigma_1(1)=3)
(sigma_1sigma_2(3)=sigma_1(sigma_2(3))=sigma_1(3)=1)
所以(1, 3)(1, 2) = ((egin{matrix} 1&3 \ 3&1 end{matrix})(egin{matrix} 1&2\ 2&1 end{matrix}) = (egin{matrix} 1&2&3 \ 2&3&1 end{matrix})) = (1, 2, 3)