代数系
定义:设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算 即：
(S imes S o S)
((a,b)mapsto c)
这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的((forall a,bin S,f(a,b)in S))，那么就称S是这种运算的代数系。
群
代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元，通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:
aa' = a'a = e
则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作(a^{-1})
4.群的定义：
设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：
(i)结合律，即对(forall a,b,c in G)都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元，即(exists e)使得(forall ain G)都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即(forall a in G, exists a'in G)使得：
aa' = a'a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。
换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。
证明：设S是一个具有运算的非空集合，则S中的单位元e是唯一的。
反证法，设e和e'都是S中的单位元，则根据单位元的定义可知：
e' = ee' = e
因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S，如果(forall a,b in G)都有：
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。
群的性质
定理：设n是正整数，如果(a_1 = a_2 = dots= a_n = a)，则记(a_1a_2dots a_n = a^n)，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义(a^0=e)为单位元，(a^{-n} = (a^{-1})^n)逆元(a^{-1})的n次幂。
性质：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:
(a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn})
子群
定义:设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作(Hle G)
Notation:H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。
证明：(H)是群(G)的子群，则(G)的单位元也是(H)的单位元
设 (e)是(G)的单位元，(e‘)是(H)的单位元. (ain H, forall b in G)则有：
(e'b = e'eb = e'a^{-1}ab = aa^{-1}b = eb = b)
同理可得:(be'=b)
根据单位元的定义可知，(e’)也是群(G)的单位元
( herefore' e'=e)，即群(G)的单位元也是群(H)的单位元
子群的判定定理:设(H)是群(G)的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：
(forall a,b in H, ab^{-1}in H)
证明：充分性
因为(H)和(G)上的运算是相同的，所以不必再证明H上的运算的是否满足结合律
(ecause)群G的单位元也是群H的单位元
( herefore e in H)，即H有单位元
又(ecause)对于(ein H, forall ain H)有，(a^{-1}=ea^{-1}in H)(假设条件)
( herefore forall ain H, a^{-1}in H)即H中的每个元素都有逆元
所以(H)是(G)的子群
必要性
若(H)是一个群，则(forall bin H, b^{-1}in H)
又由群的运算封闭性可知(forall ain H, ab^{-1}in H)
陪集
陪集的定义:设(H)是群(G)的子群，(a)是(G)中任意元素，那么集合：
(aH={ah|hin H})
叫做(G)中(H)的左陪集(相似的，可以定义(G)中(H)的右陪集(Ha))，(aH)中的元素叫做(aH)的代表元，如果(aH=Ha)，则(aH)叫做(G)中(H)的陪集
需要注意的是，在陪集定义中的(ah)是指(a)和(h)在群(G)上定义的运算
实例：整数集合Z是一个对于加法运算构成一个群，设n>1，则H = nZ={n*k | k(in)Z}是Z的子群，而子集：
(a+H={ a+h|hin H })
而(H=nZ,space h=kcdot n,space kin Z)
所以(a+H = a+nZ={a+kcdot n|kin Z})
就是nZ的陪集，这个陪集就是模n的剩余类
陪集的性质:设(H)是群(G)的子群，则
i)对任意(ain G)，有：(aH={ c|cin G,a^{-1}cin H })，
ii)对任意(ain H)，有(aH=H=Ha)
判断陪集相等:对任意(a,bin G,aH=bH)的充要条件是(b^{-1}ain H)，相反的如果(ab^{-1}
otin H)，则(aH
e bH)。
商集
商集的定义:设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合
({aH|ain G})，叫做H在G中的商集，记作G/H,即(G/H={ aH|ain G })
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]
商集指标的性质:设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|
更进一步，如果(K,H)是群(G)的子群，且(K)是(H)的子群，则
([G:K]=[G:H][H:K])，其中的每个指标都是有限的
拉格朗日推论:设(H)是有限群(G)的子群，则子群的阶(|H|)是群(G)的阶(|G|)的因数
正规子群
定义:设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：
i)对任意(ain G)，有(aN=Na)
ii)对任意(ain G)，有(aNa^{-1}=N)
iii)对任意(ain G)，有(aNa^{-1}subset N)，其中(aNa^{-1}={ana^{-1}|nin N})
证明：上面三条性质实质上是相互等价的
(i) ightarrow ii))
(forall bin aNa^{-1},exists nin N)使得(b=ana^{-1})
(ba=ana^{-1}a=anin aN=Na)
( herefore exists n'in N)使得(ba=n'a)
( herefore b=n'in N)
( herefore aNa^{-1} subset N)
又(forall bin N)，有(bain Na=aN)
( hereforeexists nin N)使得(ba=an)
则(baa^{-1}=ana^{-1} herefore b=ana^{-1})
( herefore bin aNa^{-1})
( herefore Nsubset aNa^{-1})
综上所述(aNa^{-1}=N)
(ii) ightarrow i))
(forall bin aN,exists nin N)使得(b=an)
则(ba^{-1}=ana^{-1}in aNa^{-1}=N)
即(exists n'in N)使得(ba^{-1}=n')
( herefore ba^{-1}a=b=n'ain Na)
( herefore aNsubset Na)
又(forall bin Na,exists nin N)使得(b=na)
(ba^{-1}=naa^{-1}=nin N=aNa^{-1})
( herefore exists n' in N)使得(ba^{-1}=an'a^{-1})
(即naa^{-1}=an'a^{-1})
( herefore na=an'in aN)
( herefore Nasubset aN)
综上所述(aN=Na)
(ii)leftrightarrow iii))显然成立
正规子群的性质:设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.
同态与同构
定义:设(G)和(G')都是群，(f)是(G)到(G’)的一个映射，若(forall a,bin G)有：
(f(ab)=f(a)f(b))
则称(f)是(G)到(G')的一个同态
需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：
(f(underbrace{ab}_{G中的运算})=underbrace{f(a)f(b)}_{G'中的运算})
如果(f)是单射，则称(f)为单同态；如果(f)是满射，则称(f)是满同态；如果(f)是双射，则称(f)为同构。
如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G$cong (G' 当G=G'的时候，同态)f(叫做自同态；同构)f(叫做自同构。 **同态的性质：** i))f(e) = e'$，即同态将单位元映射到单位元
证明：即(forall a' in G',a'f(e)=a')
这里需要注意的是a'不一定有原像
(ecause G eqemptyset)
( herefore f(G) eqemptyset)
则取(bin f(G),exists b'in G,f(b')=b)
(a'f(e)=a'b^{-1}bf(e)=a'b^{-1}f(b')f(e)=a'b^{-1}f(b'e))
(=a'b^{-1}f(b')=a'b^{-1}b=a')
ii)(forall a in G, f(a^{-1}) = f(a)^{-1})，即同态将a的逆元映射到(f(a))的逆元
证明：(ecause f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e')
(f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e')
( herefore f(a^{-1})=(f(a))^{-1})（逆元的定义）
iii)(f(G)= { f(a)|ain G })是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'
证明.
令x=f(a), y=f(b)(in)f(G)，则(xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1}))
由群的运算封闭性可知(ab^{-1}in G)，则(f(ab^{-1})in f(G))
即(xy^{-1}=f(ab^{-1})in f(G))
所以f(G)是G'的子群。
由满射的定义可知：f是满射的充要条件就是G'=f(G)
核子群：(kerf={ a | ain G , f(a)=e' })是(G)的子群，并且(f)是单同态的充要条件是：(kerf={e})，(ker(f))便称为核子群
自然同态：设(f)是群G到群G'的同态，则(ker(f))是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射：(s:G o G/N(amapsto aN))是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。
证明：(forall ain G,bin ker(f))有，
(f(aba^{-1})=f(a)f(b)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e')
( herefore aba^{-1}in ker(f))
( herefore ker(f))是G的正规子群
反过来，设N是群G的正规子群，则G到G/N的映射s满足：
s(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=s(a)s(b)，并且s(a)=N（这里需要注意对于商群G/N来说，单位元就是N）的充要条件是a(in)N，因此，s是核为N的同态。
同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）：设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射(f':aker(f)mapsto f(a))。
证明.
同态:
设(a,bin G/ker(f))
则(exists a',b'in G)使得(a=a'ker(f),b=b'ker(f))
(f'(ab)=f'(a'ker(f)cdot b'ker(f)))
(ecause ker(f))是G的正规子群
( herefore f'(a'ker(f)cdot b'ker(f))=f'((a'b')ker(f))=f(a'b'))
(=f(a')f(b')=f'(a'ker(f))f'(b'ker(f))=f'(a)f'(b))
( herefore f')是同态
满射:
(forall bin f(a), exists ain G,)使得(b=f(a))。
设e'是G‘中的单位元，则(f(a)=f(a)e',forall cin ker(f),f(a)=f(a)f(c)=f(ac))
也就是说(forall bin f(a))，都可以写成(f(ac))对于任意的(cin ker(f))
所以f(a)中的每个元素都在集合G/ker(f)有原像。
即f'是满射。
假设(exists a e bin G/ker(f))，则(exists a',b'in G)
使得(a=a'ker(f), b=b'ker(f))
而(f'(a'ker(f))=f(a'),f'(b'ker(f))=f(b'))
(ecause a e b, a'ker(f) e b'ker(f))
( herefore)由陪集相等的条件可知:(a'b'^{-1} otin ker(f))即：
(f(a'b'^{-1})=f(a')f(b'^{-1})=f(a')f(b')^{-1} e e')
( herefore f(a') e f(b'))
即(f'(a'ker(f)) e f'(b'ker(f)), f'(a) e f'(b))
并且可以得到一个映射转换关系：(f=icdot f'cdot s)，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态，(i:cmapsto c)是f(G)到G'的恒等映射。即：