【概率论】随机变量

随机变量

定义

一般地,随机变量是从 (Omega)​(样本空间)到实数域上的函数。

累积分布函数

(F(x) = P(Xleq x),xin(-∞,∞))

离散随机变量

是只取有限值或至多可列无限值的随机变量。

一般地,能与整数集形成一一对应的集合就是可列无限集。

伯努利随机变量

频率函数为:

[p(1) = p\ p(0) = 1-p\ p(x) = 0(x eq0,1) ]

二项分布

假设进行 (n) 次独立实验,每次实验成功的概率为 (p),失败的概率为 (1-p),那么成功的次数 (X) 参数为 (n,p) 的二项随机变量。

(p(k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k})

泊松分布

泊松分布多出现在当 (X) 表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。

(n) 较大,(p) 较小时,泊松频率函数可以用来近似二项概率。

参数为 (lambda) 的泊松频率函数为:

(p(k) = frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda})

推导

考察时间段 ([0, 1)) 事件 (A) 发生的次数 (X)

我们将时间段均匀划分为 (n) 段,并假定对于每个时间段,事件 (A) 恰好发生一次的概率与 (1/n) 成正比,设 (p = lambda/n)

因为 (p) 是很小的,所以我们可以将长度为 (1/n) 的时间段发生事件 (A) 次数大于 (1) 的概率看作是 (0)

那么 (X)​​​ 显然是服从参数为 ((n, p))​​​ 的二项分布的(记为 (Xsim B(n, p))​​​​​),因此有

(p(k) = C_n^k (frac{lambda}{n})^k(1-frac{lambda}{n})^{n-k})

(n o ∞) 时,

(frac{C_n^k}{n^k} = frac{1}{k!} \ (1-frac{lambda}{n})^{n-k} = e^{-lambda})

(p(k) = frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda})​。

连续随机变量

密度函数

对于连续随机变量,频率函数密度函数 (f(x))​ 取代,密度函数具有性质:

(f(x) geq 0 \ int_{-∞}^∞ f(x)dx = 1)

如果 (X) 是具有密度函数 (f) 的随机变量,那么它落在 ((a, b)) 的概率为:

(P(a<x<b) = int_a^bf(x)dx)

均匀密度

一般地,区间 ([a, b]) 的均匀密度是:

[f(x) = egin{cases} frac{1}{a-b} & xin [a, b]\ 0 & 其它 end{cases} ]

指数密度

指数分布常用来刻画生命周期或等待时间。

密度函数为:

[f(x) = egin{cases} lambda e^{-lambda x} & xgeq 0\ 0 & x<0 end{cases} ]

分布函数为:

[F(x) = egin{cases} 1-e^{-lambda x} & xgeq 0\ 0 & x<0 end{cases} ]

推导

假定事件 (A) 是无记忆性的,以无记忆性的元件寿命为例,这意味着从 (0) 时刻开始至少存活到到 (t)​ 时刻的概率等于 (s) 时刻开始至少存活至 (s+t) 时刻的概率是相等的。

有了这个假定,我们从 (0) 时刻开始考察,假设事件 (A) 未发生,时刻 (Delta T) 发生的概率为 (p = lambda Delta T)

记事件 (A) 在时刻 (x) 发生的概率密度(f(x)),那么事件 (A) 在时刻 (x) 发生(之前不发生)的概率为:

(f(x)Delta T = (1-p)^{x/Delta T -1}p)

因此 (f(x) = lim_{Delta T o 0}(1-lambdaDelta T)^{x/Delta T-1}lambda = lambda e^{-lambda x})

正态分布

(f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}},~xin(-infty, +infty),mu in(-infty,+infty),~sigmain(0,+infty))

(mu) 称为均值(sigma)​ 称为标准差。​

推导很复杂的样子 qwq,待补。

随机变量的函数

(X) 为具有密度为 (f_X(x)) 的随机变量,随机变量 (Y=g(X))(其中 (g) 可微并在区间 (I) 上单调),那么 (f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|frac{dg^{-1}(y)}{dy}|)

推导

不妨设 (g) 单调递增。

(F_Y(y) = P(Yleq y) = P(g(X)leq y) = P(Xleq g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))),对 (y) 求导即得:

(f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) frac{dg^{-1}(y)}{dy})

(g) 单调递减的情况完全类似,有 (f_Y(y) = -f_X(g^{-1}(y)) frac{dg^{-1}(y)}{dy})

故我们统一写成 (f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))|frac{dg^{-1}(y)}{dy}|)

原文地址:https://www.cnblogs.com/Tenshi/p/15529547.html