Cantor集
对[0,1]区间三等分, 去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor三分集, 记为(C).
它的性质
(1) 分割点一定在Cantor集中,
(2) (C)的"长度"为0，去掉的区间长度和$$sum{infty}_{n=1}frac{1}{3n}cdot 2^{n-1}=frac{frac{1}{3}}{1-frac{2}{3}}=1.$$
(3) (C)没有内点
证明：对任意(xin C), (x)必被含于在第(n)次时留下的(2^n)个长为(1/3^n)的互不相交的某个闭区间(I^{(n)}_{i})中, $$forallvarepsilon>0, 1/3^n<varepsilon, I^{(n)}_{i}subset B(x,varepsilon),$$但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的一个开区间, 从而(B(x,varepsilon))内至少有一点不属于(C), 所以(x)不可能是(C)的内点.
(4) (C)中的点都是聚点, 从而没有孤立点.
数的进制
十进制小数：相应于 对[0,1]十等分
二进制小数：相应于 对[0,1]二等分
说明：对应于[0,1]十等分的端点有两种表示，如$$0.2000000...,~~~0.1999999...$$(十进制小数)
(5) (C)的基数为(aleph),(利用三进制证明)
证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数, 则Cantor集的做法中去掉的点为小数位出现1的数的全体, 从而Cantor集为小数位只是0，2的点的全体，做对应
说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表示, $$0.100000...=0.022222...,~~~0.200000...=0.122222...$$
对(xin C), 令(A={k|a_k=0},) 则(Asubsetmathbb{N}_{+}.)
对应关系(x o A)构成了(C)到(P(mathbb{N}_{+}))的一一映射.
第一章 集合与点集
第六节 点集间的距离
定义1.16 设(Esubsetmathbb{R}^{n}), (f)是定义在(E)上的实值函数, (x_0in E), 若(forallvarepsilon>0,existsdelta>0,) 使得(xin Ecap B(x_0,delta))时候，(|f(x)-f(x_0)|<varepsilon.) 称为(f)在(x_0)点处连续.
注：若(f)在(E)上连续, 而(E_0subset E), 则(f)在(E_0)连续.
定理1.22 若(E_1,E_2)是闭集, (f)定义于(E_1cup E_2)上, 且分别在(E_1,E_2)上连续, 则(f)相对于(E_1cup E_2)也一定连续.
证明：若(xin E_1cup E_2). 不妨设它为聚点, 因为(E_1,E_2)为闭集, 则(E_1cup E_2)内任一以(x_0)为极限的点列({y_k})只能有两种情况:
其一, 从某一项起, 全部(y_k)属于(E_1)或(E_2)(相应(x_0in E_1)或(x_0in E_2).)容易证明.
其二, ({y_k})由两个分别属于(E_1,E_2)的无穷子列组成, 此时, (x_0in E_1cup E_2), 因为$$limlimits_{x o x_0, xin E_1}f(x)=limlimits_{x o x_0,xin E_2}=f(x_0),$$
因此(limlimits_{k oinfty} f(y_k)=f(x_0)).
定理1.23 设(f)是(mathbb{R}^n)中有界闭集(E)上的连续函数, 则
(1) (f)在(E)上有界
(2) (f)在(E)上取得最大值和最小值
(3) (f)在(E)上一致连续
定理1.24 设(Esubsetmathbb{R}^n, f_1,f_2,cdots)是(E)上的连续函数列, 且(k oinfty)时, ({f_k})在(E)上一致收敛到函数(f), 则(f)在(E)上连续.
例20 对于任意的(x_0inmathbb{R}^n, Esubsetmathbb{R}^n), 定义(x_0)到(E)的距离为(d(x_0,E)=inf{d(x_0,y)|yin E}).
证明：(1)若(E)是闭集, 则存在(y_0in E), 使得(d(x_0,y_0)=d(x_0,E).) 对于任意点集(A, B), 定义(A, B)之间的距离为(d(A,B)=inf{d(x,y)|xin A,yin B}.)
证明：(2)若(A)和(B)都是闭集, 其中至少有一个有界, 则存在(x_0in A, y_0in B), 使得(d(x_0,y_0)=d(A,B).)
集合的简单写法：$${xin E|f(x)>a}:=E(f>a).$$
定理1.25 若函数(f)在(E)上连续, 则对任意的实数(a), 存在开集(G_asubsetmathbb{R}^n), 使得(E(f>a)=G_acap E.) 也存在开集(H_asubsetmathbb{R}^n), 使得(E(f<a)=H_acap E.)
证明：对任意(xin E(f>a)), 由于(f)在(E)上的点(x)连续, 必存在(delta=delta(x,a)>0,) 使得(yin Ecap B(x,delta))时, (f(y)>a.)因此若令(G_a=igcup_{xin E(f>a)} B(x,delta)), 则(G_a)是开集, 并且(E(f>a)=G_acap E.)
同理可证, (H_a).
推论1 若函数(f)在(E)上连续, 则对任意的实数(a), 存在闭集(F_asubsetmathbb{R}^n), 使得(E(fgeq a)=F_acap E.) 也存在开集(K_asubsetmathbb{R}^n), 使得(E(fleq a)=K_acap E.)
推论2 若(f)在开集(E)连续, 则对于任意实数(a), (E(f>a))和(E(f<a))是开集, 若函数(f)在闭集(E)上连续, 则对于任意实数(a), (E(fgeq a), E(fleq a))是闭集.
定理1.26 若(f)是(mathbb{R}^n)的函数, 则对于任意实数(a), (E(f>a), E(f<a))总是开集, 则(f)在(mathbb{R}^n)上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）
连续延拓定理
引理：若(F_1,F_2)是(mathbb{R}^n)中的两个不交的非空闭集, 则有连续函数(f(x)), 使得
(1) (0leq f(x)leq 1(xinmathbb{R}^n));
(2) (F_1={x: f(x)=1}, F_2={x: f(x)=0}.)
证明：构造函数$$f(x)=frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, xinmathbb{R}^n.$$
定理1.27 连续延拓定理：若(F)是(mathbb{R}^n)中的闭集, (f(x))是(F)上的连续函数, 且(|f(x)|leq M(xin F),) 则存在(mathbb{R}^n)上的连续函数(g(x))满足
证明：把(F)分成三个点集：(A={xin F:M/3leq f(x)leq M},B={xin F:-Mleq f(x)leq -M/3},C={xin F):其他(}.)
并作函数$$g_1(x)=frac{M}{3}cdotfrac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},xinmathbb{R}^n.$$