复数、复数列和级数、拓扑性质

复变函数

复数, 复数序列和级数

复数相等：(z_{1}=x_{1}+iy_{1}=z_{2}=x_{2}+iy_{2}, z_{1}=z_{2}Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2}.)
共轭：(z=x+iy, ar{z}=x-iy).
模或长度：(|z|=sqrt{x^2+y^2}.)
加法：(z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).)
乘法：(z_{1}cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).)
归纳定义：(z^n=zcdot z^{n-1}.)
(z eq0)时, 定义(z^{-1}=frac{ar{z}}{|z|^2}.) 相应地归纳, (z^{-n}=z^{-1}cdot z^{-(n-1)}).
减法和除法：可视作逆运算.
运算规律：交换律, 结合律, 分配律.
复数性质：
(1) (ar{ar{z}}=z, ar{z_{1}+z_{2}}=ar{z_{1}}+ar{z_{2}}.)
(2) (ar{z_{1}z_{2}}=ar{z_{1}}ar{z_{2}}, ar{frac{z_{1}}{z_{2}}}=frac{ar{z_{1}}}{ar{z_{2}}}. (z_{2} eq 0).)
(3) (|z|^2=zar{z}, Re z=frac{z+ar{z}}{2}, Im z=frac{z-ar{z}}{2}.)
复数不等式:
(1) (|x|=|Re z|leq |z|; |y|=|Im z|leq |z|.)
(2) (|z|leq |Re z|+|Im z|.)
(3) 三角不等式. (|z_{1}+z_{2}|leq |z_{1}|+|z_{2}|), 推广到：(|z_{1}+z_{2}+cdots+z_{n}|leq |z_{1}|+cdots +|z_{n}|.)
(4) (ig||z_{1}|-|z_{2}|ig|leq |z_{1}-z_{2}|).
(5) (|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|, |ar{z}|=|z|, |frac{z_{1}}{z_{2}}|=frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}.)
在全体复数集上引进上述代数结构后, 成为复数域, 记作(mathbb{C}), 可看作由实数域(mathbb{R})添加一个虚数单位扩张得到.
从一维欧氏空间扩充到二维欧氏平面, 在(mathbb{R}^2={(x,y):x,yin mathbb{R}})中引入乘法运算: ((x_{1},y_{1})cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).) 使得平面(mathbb{R}^2)上的点与全体复数间一一对应. 复数和平面上的点不加区别, 这样表示复数(x+iy)的平面称为复平面, 仍然用(mathbb{C})表示.
映射：(mathbb{C} ightarrow mathbb{R}^2, ~~~~~~ x+iymapsto (x,y)). 从而可以用平面的术语描述复平面.
复数用(mathbb{C})上的自由向量来表示, (|z_{1}-z_{2}|)表示两点之间的距离, (sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}).
辐角：实轴正向与非零向量(z=x+iy)之间的夹角称为(z)的辐角.
辐角正负：由正实轴按逆时针方向转到(overrightarrow{OP})为正, 顺时针为负.
辐角全体记作(Arg z(z eq 0)). 辐角有无穷多个, 其中任意两个相差(2pi)的整数倍, 其中有且只有一个辐角( heta)满足(-pi< hetaleq pi), 记作(arg z), 称之为(z)的主辐角, 或(Arg z)的主值. 故

[Arg z={arg z+2kpi:kin mathbb{Z}}. ]

注：有时也用(arg z)表示(Arg z)中任一确定的值, 联系上下文.
(z=0)时, (Arg z)无意义.
给定任一复数(z eq0), 模(|z|), 辐角( heta), 则其实部(Re z=|z|cos heta, Im z=|z|sin heta).
(z=|z|cos heta+i|z|sin heta), 称为复数(z)的三角表示式.
如何求得辐角主值？可有下公式

[ arg(z)=left{ egin{aligned} arctan frac{y}{x},~~~&x>0, yinmathbb{R}\ pi+arctan frac{y}{x},~~~&x<0,ygeq 0\ -pi+arctan frac{y}{x},~~~&x<0,y<0\ pi/2, ~~~&x=0,y>0\ -pi/2. ~~~&x=0,y<0 end{aligned} ight. ]

复数乘积的三角表示式及几何意义：
设 (z_{1}=|z_{1}|(cos heta_{1}+isin heta_{1}) eq 0, z_{2}=|z_{2}|(cos heta_{2}+isin heta_{2}) eq 0).
(z_{1}z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(cos ( heta_{1}+ heta_{2})+isin( heta_{1}+ heta_{2})).
另一方面, (z_{1}z_{2}=|z_{1}z_{2}|ig(cosarg(z_{1}z_{2})+isinarg(z_{1}z_{2})ig)),
则(arg(z_{1}z_{2})= heta_{1}+ heta_{2}+2kpi, kinmathbb{Z}).
(Arg(z_{1}z_{2})=Arg z_{1}+Arg z_{2}), (集合意义下).
复数乘积的模是两个模的乘积, 辐角就是这两个复数的辐角之和(再加(2pi)的整数倍).
几何意义：(z_{1}z_{2})表示的向量：把(z_{2})所表示的向量沿着逆时针方向旋转角度为(arg z_{1}), 向量模再伸长(|z_{1}|)所得. 同理, 商的三角表示式和几何意义：

[frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{z_{1}ar{z_{2}}}{|z_{2}|^2}=frac{|z_{1}||z_{2}|}{|z_{2}|^2}[cos( heta_{1}- heta_{2})+isin( heta_{1}- heta_{2})]=frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}[cos( heta_{1}- heta_{2})+isin( heta_{1}- heta_{2})] ]

故(|frac{z_{1}}{z_{2}}|=frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}, Arg(frac{z_{1}}{z_{2}}=Arg z_{1}-Arg z_{2})(集合相等).

例1.1.1. 求(Arg(-1+i))与(Arg(-7-11i)). 方法：先求主值.

例1.1.2. 设(z_{1},z_{2})是两个复数, 求证：(|z_{1}+z_{2}|^2=|z_{1}|^2+|z_{2}|^2+2Re (z_{1}ar{z_{2}})).

证明：模的平方与共轭联系.

例1.1.3. 设(a_{k},b_{k}, k=1,2,cdots,n)是复数, 证明：(C-S不等式): $$|sum^{{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|}2leq sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2cdotsum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2.$$

证明：引入辅助级数(t), $$forall tinmathbb{C}, |a_{k}-tar{b_{k}}|^{2=(a_{k}-tar{b_{k}})overline{(a_{k}-tar{b_{k}})}=|a_{k}|}2+|t|^2|b_{k}|2-2Re(a_{k}ar{t}b_{k}).$$ 对(k)求和,

[0leqsum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re(ar{t}sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k})+|t|^2sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2. ]

[sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2=0$$时, $b_{1}=cdots=b_{n}=0$. 成立. $$sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2 eq0$$时, 令$$t=frac{sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k}}{sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2}$$代入, 得 $$ 0leqsum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Reig(frac{|sum a_{k}b_{k}|^2}{sum |b_{k}|^2}ig)+frac{|sum a_{k}b_{k}|^2}{sum|b_{k}|^2} ~~~Rightarrow|sum a_{k}b_{k}|^2leqsum|a_{k}|^2sum|b_{k}|^2.]

至此, 我们知道复数可有坐标表示、向量表示、三角表示, 还可以用指数表示.

定义1.1.4. 设(z_{n}inmathbb{C}, ninmathbb{N},alphainmathbb{C}), 若(forall~~~varepsilon>0, exists Ninmathbb{N}, s.t, n>N) 时, 恒有(|z_{n}-alpha|<varepsilon,) 则称复数列({z_{n}})收敛于(alpha), 记作(limlimits_{n oinfty}z_n=alpha).

定义1.1.5. 设(z_{n}=x_{n}+iy_{n}, alpha=a+ib, a,b,x_{n},y_{n}inmathbb{R}, ninmathbb{N}), 则$$limlimits_{n oinfty}z_{n}=alpha Leftrightarrow limlimits_{n oinfty}x_{n}=a, limlimits_{n oinfty}y_{n}=b.$$

定义1.1.6. 复数的柯西列

定义1.1.7. 复数柯西列的等价定义

定义1.1.8. 对于复数列而言, 柯西列是收敛列.

定义1.1.9. 复数项的无穷级数$$sum^{infty}{n=0}alpha{n}=alpha_{0}+alpha_{1}+cdots+alpha_{n}+cdots$$相应地, 定义复级数收敛和发散性质.

复平面的拓扑

定义圆盘(D(a,r)={z:|z-a|<r}), 进而有单位圆盘, 邻域, 空心邻域, 直径记为diam (E=sup{|z_1-z_2|:z_1,z_2in E}.) 设(E, F)是任意两个集合, 之间的距离定义为: (d(E,F)=inf{|z_1-z_2|:z_1in E, z_2in F}.)
内点. 如果对任意(r>0, D(a,r)cap E)中有无穷个点, 那么称点(a)为集合(E)的聚点或极限点. 如果存在(r>0, D(a,r)cap E={a},) 点(a)为集合(E)的边界点. 边界点可以属于集合(E), 也可以不属于, 如果存在(r>0, D(a,r)cap E={a}), 点(a)为边界点但不是聚点, 称之为(E)的孤立点.

定理1.2.1 （康托） 设(F_nsubset mathbb{C}(ninmathbb{N}))为闭集列, 满足(F_0supset F_1supsetcdots)且$$limlimits_{n oinfty} diam F_n=0.$$ 这是实数域中的闭区间套定理的推广.

紧性. 设点集(Esubset C, mathcal{F})是一个开集族, 称(mathcal{F})是集合(E)的一个开覆盖, 就是说(E)中每一点至少属于(mathcal{F})中的某一开集, 称(E)具有有限覆盖性质, 是指从(E)的任意一个开覆盖中必能选出有限个开集(G_1, G_2, cdots, G_n,) 覆盖(E), 即(Esubset igcup^n_{k=1} G_k).

定义1.2.2 具有有限覆盖性质的集合(E)称为紧集.

例如, 空集和有限集.

定理1.2.3 (Heine-Borel) 设(Esubsetmathbb{C}), 则(E)是有界闭集的充要条件是(E)为(mathbb{C})中的紧集.

定理1.2.4 (Bolzano-Weierstrass) 任意有界无穷点集至少有一个极限点. (或任意有界序列至少有一个收敛的子序列.)

定理1.2.5 设(E)是紧集, (F)是闭集, 且(Ecap F=emptyset), 则存在(ain E, bin F), 使得(d(E,F)=|a-b|>0).

证明：由(d(E,F))的定义，存在(a_nin E,b_nin F)使得(|a_n-b_n| o d(E,F), n oinfty.) 由于(E)是紧集，它是有界闭集。({a_n:ninmathbb{N}})必有收敛的子列({a_{n_k}:kinmathbb{N}},) 且收敛于(E)中一点(a), ({b_{n_k}:kinmathbb{N}})是有界列，必有收敛的子列({b_{n_{k_j}}:jinmathbb{N}},) 且收敛于(F)中一点(b), 于是有

[|a_{n_{k_j}}-B_{n_{k_j}}| o d(a,b), ~~~j oinfty. ]

所以就有(d(E,F)=|a-b|>0.)

例1.2.6 求证：点集(E)的边界(partial E)是闭集。

证明：设(z)为(partial E)的聚点，则对任意的(varepsilon >0,) 在点(z)的(varepsilon)邻域内存在点(z_0 eq z,) 使得(z_0in partial E), 于是存在(varepsilon'=varepsilon-|z-z_0|>0), 使得(D(z_0,varepsilon'subset D(z,varepsilon),) 由于(z_0in partial E), 所以在(D(z_0,varepsilon'))内存在属于和不属于(E)的点。于是在(D(z,varepsilon))内存在属于和不属于(E)的点。故(zinpartial E), 所以(partial E)是闭集.

例1.2.7 过(z_1,z_2)两点，方向为从(z_1)到(z_2)的有向直线(L)的参数方程为

[z=z_1+t(z_2-z_1) ~~~~ (-infty<t<infty). ]

有((z-z_1)overline{(z_2-z_1)}=t|z_2-z_1|^2.)

例1.2.7 关于圆周的方程。复数形式：(|z-z_0|^2=R^2),或者((z-z_0)overline{(z-z_0)}=R^2.) 于是以(z_0)为圆心，(R)为半径的圆周又可以表示成

[zar{z}-ar{z_0}z-z_0ar{z}+|z_0|^2-R^2=0. ]

反之，若方程表示成

[Azar{z}+ar{B}z+Bar{z}+C=0 ]

表示一个圆，其中(A,Cinmathbb{R},A eq 0,Binmathbb{C},|B|^2-AC>0).
结合两个例子可得，直线与圆周方程可统一的表示为

[Azar{z}+ar{B}z+Bar{z}+C=0 ]

表示一个圆，其中(A,Cinmathbb{R},Binmathbb{C},|B|^2-AC>0).
当(A=0)时，为直线方程。否则为圆周方程。