原题网址：https://www.lintcode.com/problem/backpack/description
描述
在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]
你不可以将物品进行切割。
样例
如果有4个物品[2, 3, 5, 7]
如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。
如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。
函数需要返回最多能装满的空间大小。
挑战
O(n x m) time and O(m) memory.
O(n x m) memory is also acceptable if you do not know how to optimize memory.
思路：
背包问题是动态规划的一种题型，它的特点如下：
1. 用值作为dp维度
2. dp过程就是填写矩阵
3. 可以用滚动数组进行优化 转自此文
dp【i】【j】表示前 i 个物品放到容量为 j 的背包里能够占用的最大体积。
状态转移方程为：dp【i】【j】= max（dp【i-1】【j】，dp【i-1】【j-A【i】】+A【i】）。
每个物品只有两种状态，放或者不放。对于容量为 j 的背包，放入第 i-1 件物品后占用的最大体积为dp【i-1】【j】，现在考虑第 i 件物品。
不放，dp【i】【j】=dp【i-1】【j】；
放，需要从 j 中腾出A【i】的空间，再看剩余的空间放前 i-1 件物品最大能占多少空间，即dp【i】【j】=A【i】+ dp【i-1】【j-A【i】】。（注意前提是 j >= A【i】）
最后的dp【i】【j】就是上述两种情况的较大值。
AC代码，时间复杂度O（m×n），空间复杂度O（m×n）：
class Solution {
public:
/**
* @param m: An integer m denotes the size of a backpack
* @param A: Given n items with size A[i]
* @return: The maximum size
*/
int backPack(int m, vector<int> &A) {
// write your code here
if (A.empty())
{
return 0;
}
int size=A.size();
vector<vector<int>> dp(size,vector<int>(m+1,0));
//初始化第一行,即只有第一个物品时,若背包容量大于等于A[0],放物品能占用的最大空间为A[0];
for (int j=0;j<=m;j++)
{
if (j>=A[0])
{
dp[0][j]=A[0];
}
}
//计算dp其他元素;
for (int i=1;i<size;i++)
{
for (int j=0;j<=m;j++)
{
if (j>=A[i])//能放A[i],计算此时的最大体积，注意是大于等于;
{
dp[i][j]=dp[i-1][j-A[i]]+A[i];
}
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j]);
}
}
return dp[size-1][m];
}
};
PS：状态转移方程简而言之就是，背包容量为 j 时，能放得下 i 就腾出A【i】的空间，再看剩余的空间放前 i-1 件物品最大能占多少空间，二者之和与不放 i 能占用的最大体积比，哪个大就取哪个；放不下就直接看0~i-1能占用 j 的最大容量是多少；
再PS：dp数组优化前，j是从前向后遍历还是从后向前遍历都不影响其结果，因为计算当前i是参照i-1时的数据。
利用滚动数组优化空间复杂度：
创建一维动态数组dp，dp【j】仍然表示前 i 个物品放到容量为 j 的背包里能够占用的最大体积。
状态转移方程为：j从m依次递减到0，dp【j】= max（dp【j】，dp【j-A【i】】+A【i】）。
推导思路与二维dp相同。只不过代码实现的时候要注意，列方向需要从后向前计算（防止覆盖未参加计算的上一行数据），这样就实现了用当前行不断代替前一行。
不难理解，i=0时是正常计算的。i≠0时，二维dp【i】【j】= max（dp【i-1】【j】，dp【i-1】【j-A【i】】+A【i】），注意等号右边的dp数组行下标都是i-1，即前一行的数据。一维dp时，j从后向前遍历，则参与计算的dp【j】与dp【j-A【i】】都是上一行的值。
AC代码：
class Solution {
public:
/**
* @param m: An integer m denotes the size of a backpack
* @param A: Given n items with size A[i]
* @return: The maximum size
*/
int backPack(int m, vector<int> &A) {
// write your code here
int size=A.size();
vector<int> dp(m+1,0);
for (int i=0;i<size;i++)
{
for (int j=m;j>=0;j--)//从后向前计算，保证了参与运算的是上一行的dp[j]与dp[j-A[i]];
{
if (j>=A[i])//注意是大于等于;
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-A[i]]+A[i]);
}
}
}
return dp[m];
}
};
参考：
lintcode backpack 背包问题 讲解清晰易懂
LintCode背包问题总结 总结了一系列背包问题，可以好好参考。
[LintCode] Backpack I II III IV V VI [背包六问]