频率响应
从复指数输入引入频率响应
对于一个LTI系统，如果输入为$x[n] = e^{jomega n},-infty<n<infty$，那么输出为
$egin{align*}
y[n] &= sum_{k=-infty}^{infty}h[k]x[n-k] \
&=sum_{k=-infty}^{infty}h[k]e^{jomega(n-k)}\
&=sum_{k=-infty}^{infty}h[k]e^{-jomega k}e^{jomega n}
end{align*}$
式子当中，我们称$e^{jomega n}$为该系统的特征函数，相应的特征值为
$H(e^{jomega}) = displaystyle{ sum_{k=-infty}^{infty}h[k]e^{-jomega k} }$
可以观察到特征值$H(e^{jomega })$是与频率$omega$相关的函数，因此特征值$H(e^{jomega})$也被称为系统的频率响应。一般$H(e^{jomega})$是复数，可以分为实部与虚部表示
$H(e^{jomega}) = H_R(e^{jomega}) + jH_I(e^{jomega})$
也可以用幅度和相位表示
$H(e^{jomega}) = |H(e^{jomega})|e^{jangle H(e^{jomega)}}$
频率响应的广泛应用推论
这里我们可以做一个推论：如果信号能表示成由多个不同频率（$omega_k$）的复指数的线性组合的形式
$x[n] = displaystyle{ sum_{k}a_k e^{jomega_k n} }$
那么根据叠加原理，该信号经过线性时不变系统后得到相应的输出
$y[n] = displaystyle{ sum_{k}a_k H(e^{jomega_k})e^{jomega_k n} }$
频率响应的周期性
$egin{align*}
H(e^{j(omega+2pi)})
&= sum_{n=-infty}^{infty}h[n]e^{-j(omega+2pi)n} \
&= sum_{n=-infty}^{infty}h[n](e^{-jomega n}e^{-j2pi n})\
&= sum_{n=-infty}^{infty}h[n]e^{-jomega n}\
&= H(e^{jomega})
end{align*}$
频率响应$H(e^{jomega})$作为一个变量为频率$omega$的函数来说，它的周期为$2pi$，只要确定了一个系统在区间$-pi < omega leqslant pi$上的频率响应，那么该系统在任意频率（$omega$）的频率响应都能得到。其中靠近$0$处的频率就是低频，靠近$pm pi$处的频率就是高频。
常见系统的频率响应
理想延迟系统
定义：
$y[n] = x[n-n_d]$
当输入$x[n] = e^{jomega n}$时，有
$y[n] = e^{jomega (n-n_d)} = e^{-jomega n_d}e^{jomega n}$
因此这个理想延迟系统的频率响应为
$H(e^{jomega}) = e^{-jomega n_d}$
另外，用频率响应的定义式子也能求得该系统的频率响应
$egin{align*}
H(e^{jomega}) &=sum_{k=-infty}^{infty}h[k]e^{-jomega k} \
&= sum_{k=-infty}^{infty}delta[k-n_d]e^{-jomega k}\
&= e^{-jomega n_d}
end{align*}$
根据欧拉公式可以求得频率响应的实部和虚部分别为
$left { egin{matrix}
H_R(e^{jomega}) & = &cos(omega n_d) \
H_I(e^{jomega}) & = &-sin(omega n_d)
end{matrix}
ight .$
其幅度和相位是
$left { egin{matrix}
|H(e^{jomega})| & = &1 \
angle H(e^{jomega}) & = &-omega n_d
end{matrix}
ight .$
单位脉冲响应为实数的LTI系统
如果$h[n]$为实数，则有
$egin{align*}
H(e^{-jomega})
&= sum_{k=-infty}^{infty}h[k]e^{jomega k} \
&= sum_{k=-infty}^{infty}h[k](cos(omega k)+jsin(omega k))\
&= underbrace{sum_{k=-infty}^{infty}h[k]cos(omega k)}_{H_R(e^{-jomega})}+underbrace{jsum_{k=-infty}^{infty}h[k]sin(omega k)}_{H_I(e^{-jomega})} quad h[k] is real\
&= underbrace{sum_{k=-infty}^{infty}h[k]cos(-omega k)}_{H_R(e^{jomega})}-underbrace{jsum_{k=-infty}^{infty}h[k]sin(-omega k)}_{H_I(e^{jomega})} quad h[k] is real\
&=H^{*}(e^{jomega})
end{align*}$
LTI系统的正弦响应
如果一个LTI系统的输入为正弦的
$x[n] = Acos (omega_0 + phi) = frac{A}{2}e^{jphi}e^{jomega_0 n} + frac{A}{2}e^{-jphi}e^{-jomega_0 n}$
那么其输出为
$egin{align*}
y[n]
&= frac{A}{2}{H(e^{jomega_0})e^{jphi}e^{jomega_0 n}+H(e^{-jomega_0})e^{-jphi}e^{-jomega_0 n} } \
&= frac{A}{2}{[H_R(e^{j omega_0})+jH_I(e^{jomega_0})]e^{jphi}e^{jomega_0 n}+[H_R(e^{j omega_0})-jH_I(e^{jomega_0})]e^{-jphi}e^{-jomega_0 n} } \ &qquad h[n] is realRightarrow H(e^{-jomega_0})=H^{*}(e^{jomega_0})\
&= frac{A}{2}{ H_R(e^{jomega_0})(e^{jphi}e^{jomega_0 n}+e^{-jphi}e^{-jomega_0 n})+jH_I(e^{jomega_0})(e^{jphi}e^{jomega_0 n}-e^{-jphi}e^{-jomega_0 n}) } \
&= frac{A}{2} { 2H_R(e^{jomega_0})cos(omega_0 n + phi) - 2H_I(e^{jomega_0})sin(omega_0 n + phi) } \
&= A { H_R(e^{jomega_0})cos(omega_0 n + phi) - H_I(e^{jomega_0})sin(omega_0 n + phi) } \
&= A{ |H(e^{jomega_0})|cos( heta)cos(omega_0 n +phi)-|H(e^{jomega_0})|sin( heta)sin(omega_0 n +phi)} quad letting heta=angle H(e^{jomega_0})\
&= A |H(e^{jomega_0})| cos(omega_0 n +phi+ heta)
end{align*}$
如果当前的LTI系统为理想延迟系统，在前面已经得到其幅度与相位$|H(e^{jomega_0})|=1, heta = –omega_0 n_d$，因此
$egin{align*}
y[n]
&= Acos(omega_0 n +phi-omega_0 n_d)\
&= Acos[omega_0(n-n_d)+phi]
end{align*}$
这与直接利用理想延迟系统的定义得到的结果是一致的。
滑动平均系统
单位脉冲响应为
$h[n]=left{egin{matrix}
frac{1}{M_1+M_2+1} ,& -Mleqslant nleqslant M_2 \
0, &else
end{matrix}
ight .$
因此频率响应为
$H(e^{jomega}) = frac{1}{M_1+M_2+1}displaystyle{sum_{n=-M_1}^{M_2}e^{-jomega n}}$
对于因果滑动平滑系统，$M_1 = 0$，即
$H(e^{jomega}) = frac{1}{M_2+1}displaystyle{ sum_{n=0}^{M_2}e^{-jomega n} }$
运用几何级数求和公式可以得到
$egin{align*}
H(e^{jomega}) & = frac{1}{M_2+1}sum_{n=0}^{M_2}e^{-jomega n}\
&= frac{1}{M_2+1}left( frac{1-e^{-jomega(M_2+1)}}{1-e^{-jomega}}
ight ) \
&= frac{1}{M_2+1}left( frac{(e^{jomega(M_2+1)/2}-e^{-jomega(M_2+1)/2})e^{-jomega(M_2+1)/2}}{(e^{jomega/2}-e^{-jomega/2})e^{-jomega/2}}
ight )\
&= frac{1}{M_2+1}left(frac{sin[omega(M_2+1)/2]}{sinomega/2}e^{-jomega M_2/2}
ight )
end{align*}$
当$M_2=4$时，频率响应的模和相位如下
频率响应的模与相位都会随着频率$omega$的变化而变化，其中从模的图形中能看出在$pi$（高频）附近的值明显比$0$处（低频）小，也就是起到了截断高频、通过低频的作用，算是一个较为粗糙的低通滤波器，这一点与滑动平均系统的特性是一致的。
因果LTI系统的频率响应
前面的文章已经说过，因果LTI系统有一些比较重要的特点：
- 输出$y[n]$不能使用超前的输入$x[n+m],m>0$来计算
- 系统的单位脉冲响应$h[n]=0,for n<0$
- 在未进行输入之前不会有输出（初始松弛条件）
稳态响应与暂态响应的定义
现考虑在$n=0$时刻开始向一个因果LTI系统输入复指数信号，
$u[x] = e^{jomega n}u[n]$
那么输出为
$y[n]=left {egin{matrix}
0, &n<0 \
left( displaystyle{sum_{k=0}^{n}h[k]e^{-jomega k}}
ight )e^{jomega n}, &n geqslant 0
end{matrix}
ight .$
由于在$n<0$时$y[n]$为$0$，因此这里只考虑$ngeqslant 0$时的输出
$egin{align*}
y[n]&=left( sum_{k=0}^{n}h[k]e^{-jomega k}
ight )e^{jomega n} \
&=left(sum_{k=0}^{infty}h[k]e^{-jomega k}
ight )e^{jomega n}-left(sum_{k=n+1}^{infty}h[k]e^{-jomega k}
ight )e^{jomega n}\
&=left(sum_{k=-infty}^{infty}h[k]e^{-jomega k}
ight )e^{jomega n} - left(sum_{k=n+1}^{infty}h[k]e^{-jomega k}
ight )e^{jomega n} quad h[k]=0,k<0\
&=H(e^{jomega})e^{jomega n} - left(sum_{k=n+1}^{infty}h[k]e^{-jomega k}
ight )e^{jomega n}\
end{align*}$
可见输出由两部分组成，$y[n] = y_{ss}[n]+y_t[n]$，其中
$y_{ss}[n]=H(e^{jomega})e^{jomega n}$
这部分被称为稳态响应（steady-state response），也就是当系统的输入为$e^{jomega n}$时的输出。而第二部分
$y_t[n] = displaystyle{ - left(sum_{k=n+1}^{infty}h[k]e^{-jomega k} ight )e^{jomega n}}$
就是系统输出偏离特征函数（即$e^{jomega n}$）的输出的量。这一部分被称为暂态响应（transient response）。
稳态响应与暂态响应在输出过程中的变化
前面已经说过稳态响应是当系统输入为$e^{jomega n}$时的输出，那么暂态响应是否也有什么含义呢，我们先来对暂态响应做进一步推导
$egin{align*}
y_t[n] &= sum_{k=n+1}^{infty}h[k]e^{-jomega k}e^{jomega n} \
& = sum_{m=-infty}^{-n-1}h[-m]e^{jomega m}e^{jomega n} quad letting m=-k\
& = sum_{p=-infty}^{-1}h[n-p]e^{jomega (p-n)}e^{jomega n}quad letting p=m+n\
& = sum_{p=-infty}^{-1}h[n-p]e^{jomega p}
end{align*}$
下图所示的是频率为$omega = 2pi/10$的复指数信号的实部，图中实心点的是系统的实际输入，空心点的是丢失的输入（这样的输入代表了从$n=0$时开始对因果LTI系统进行输入）。
按照上面式子推导出来的结果，在某个时刻$n$的暂态响应，选取的是开始输入之前的那部份输入序列。
当$h[n]$长度有限时，暂态响应会在$h[n-k]$与$x[n]$完全相交后变为0
当$h[n]$长度无限时，如果是稳定的系统，则在$n o infty$时有$h[n] o 0$，暂态响应也会随着$n$的增大而逐渐变小，在$n oinfty$时有$y_t[n] o 0$。
这也说明了随着$n$的增大，暂态响应的影响会越来越小，稳态响应的影响则越来越大。