泰勒公式（Taylor Series）能把大多数的函数展开成幂级数，即
$f(x) = displaystyle{ sum_{n=0}^{infty}A_n x^n }$
式子当中只有加法与乘法，容易求导，便于理解与计算。这种特性使得泰勒公式在数学推导（如：微分方程以幂级数作为解），数值逼近（如：求e、开方），函数逼近（在计算机某些计算优化时，可以把某些繁琐的式子进行泰勒展开，仅保留加法与乘法运算），复分析等多种应用中有广泛应用。
泰勒公式定义
条件：有实函数$f$，$f$在闭区间$[a,b]$是连续的，$f$在开区间$(a,b)$是$n+1$阶可微。
则可以对函数$f$进行泰勒展开：
$egin{align*}
f(x)
&= frac{1}{0!}f(x_0) \
&+frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \
&+frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \
&+ cdot cdot cdot \
&+frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \
&+ R_n
end{align*}$
其中$x_0$为区间$(a,b)$中的某一点， $x_0 in (a,b)$，变量$x$也在区间$(a,b)$内。
泰勒展开得到的是一个多项式，可以写成
$f(x) = displaystyle{ sum_{k=0}^{n}frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x) + R_n }$
其中$R_n$为泰勒公式的余项（Remainder）。该余项可以写成以下形式
$R_n = displaystyle{ int_{x_0}^x frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt }$
余项$R_n$还可以进一步表示成：存在一点$x_0<xi<x$使得下面的式子成立
$R_n = frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $
泰勒公式推导
泰勒公式推导的起点为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）：
$displaystyle{ int_{x_0}^x f'(t)dt } = f(x) – f(x_0)$
因此有：
$displaystyle{ f(x) = f(x_0) + int_{x_0}^x f'(t)dt }$
然后用分部积分法(Integration by parts)对积分部分进行分解:
$egin{align*}
f(x)
&=color{red}{f(x_0) + int_{x_0}^x f'(t)dt} \
&=f(x_0) + left. tf'(t)
ight|_{x_0}^x - int_{x_0}^x tf''(t)dt qquad udv = uv - vdu \
&=f(x_0) + xf'(x) – x_0f'(x_0) - int_{x_0}^x tf''(t)dt \
&=f(x_0) + xleft( f'(x_0) + int_{x_0}^x f''(t)dt
ight ) – x_0f'(x_0) - int_{x_0}^x tf''(t)dt \
&qquad Fundamental Theorem of Calculus\
&=color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + int_{x_0}^x (x-t)f''(t)dt} \
&=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + left.(xt - frac{1}{2}t^2)f''(t)
ight|_{x_0}^x - int_{x_0}^x(xt - frac{1}{2}t^2) f'''(t)dt qquad udv = uv - vdu \
&=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + frac{x^2}{2}f''(x) + frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) - int_{x_0}^xfrac{2xt-t^2}{2} f'''(t)dt \
&=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + frac{x^2}{2}left( f''(x_0) + int_{x_0}^x f'''(t)dt
ight ) + frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) \
&quad+ int_{x_0}^xfrac{-2xt+t^2}{2} f'''(t)dt quad Fundamental Theorem of Calculus\
&=color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0) + int_{x_0}^xfrac{(x-t)^2}{2} f'''(t)dt}
end{align*}$
运用微积分基本定理以及分部积分法继续推导下去可以得到：
$egin{align*}
f(x)
&= frac{1}{0!}f(x_0) \
&+frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \
&+frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \
&+cdot cdot cdot \
&+frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \
&+int_{x_0}^x frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt qquad *
end{align*}$
由此得到余项
$R_n = int_{x_0}^x frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $
泰勒公式余项推导
泰勒公式的余项能写成多种形式，我们这里只对它的拉格朗日（Lagrange）形式进行推导
拉格朗日余项为：存在一点$x_0<xi<x$使得下面的式子成立
$R_n = frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $
推导过程如下：
令
$egin{align*}
F(x)
&= frac{1}{0!}f(x_0) \
&+ frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \
&+ frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \
&+ cdotcdotcdot \
&+ frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^n(x_0)
end{align*}$
那么就有
$R_n(x) = f(x) – F(x)$
由于$f(x)$与$F(x)$在区间$(a,b)$上都有$n+1$阶导，因此$R_n(x)$在此区间上也有$n+1$阶导。
又因为$R_n(x) = int_{x_0}^x frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $，因此有
$R_n(x_0) = R'_n(x_0)=R''_n(x_0) = … = R_n^{(n)}(x_0) = R_n^{(n+1)}(x_0) = 0$
对函数$R_n(x)$以及函数$G(x) = (x-x_0)^{n+1}$应用柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem)，得到:
存在一点$xi_1 in (x_0,x)$，使得下面的等式成立
$frac{R'_n(xi_1)}{G'(xi_1)} = frac{R_n(x) – R_n(x_0)}{G(x) – G(x_0)} $
等号左边展开后为$frac{R'_n(xi_1)}{(n+1)(xi_1-x_0)^n}$，等号右边为$frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$，即
$frac{R'_n(xi_1)}{(n+1)(xi_1 – x_0)^n} = frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$
现在注意等号左边，把左边当作对$R'_n(x)$与$(n+1)(x-x_0)^n$在区间$(x_0,xi_1)$应用柯西中值定理，得到
存在一点$xi_2 in (x_0,xi_1)$，使得下面的等式成立
$frac{R'_n(xi_1)}{(n+1)(xi_1-x_0)^n} = frac{R'_n(xi_1)-R'_n(x_0)}{(n+1)(xi_1-x_0)^n-0}=frac{R''_n(xi_2)}{n(n+1)(xi_2-x_0)^{n-1}}$
按照这种方法继续推导下去，经过$n+1$次后得到
$frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}} = frac{R^{n+1}_n(xi)}{(n+1)!} qquad ( xiin (x_0,xi_n) , thus xi in (x_0,x) )$
另外，可以看到$R_n^{(n+1)}(x)=left( f(x)-F(x) ight)^{(n+1)}=f^{(n+1)}(x)$，代入上面的式子得到
$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} qquad xi in (x_0,x)$
泰勒级数(Taylor Series)
按照上述泰勒公式，如果$f(x)$在$x_0$处无限可导，那么泰勒公式则变为
$f(x) = displaystyle{sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_{infty} }$
其中幂级数（Power Series）
$displaystyle{sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n} $
称为$f(x)$在点$x_0$处的泰勒级数。
泰勒级数的收敛性分析
泰勒级数在实数域上的收敛性分析
如果函数$f(x)$在包含$x_0$的区间$(a,b)$上无限可导，那么对于所有$x in (a,b)$，$f(x)$能展开成泰勒级数的条件就是余项在无穷处趋于0，即
$displaystyle{f(x) = sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n quad Leftrightarrow quad lim_{n oinfty}R_n(x) = 0 }$
更进一步分析，在泰勒公式时有余项
$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(xi_{n+1})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} qquad , qquad let xi_{n+1} = xi$
在其前一步，有
$R_{n-1}(x) = frac{f^{(n)}(xi_n)}{(n)!}(x-x_0)^{n}$
两者相比，得
$frac{R_{n}(x)}{R_{n-1}(x)} = frac{f^{(n+1)} (xi_{n+1})(x-x_0)}{f^{(n)}(xi_{n})(n+1) }$
只有$left| frac{R_n(x)}{R_{n-1}(x)} ight| < 1$时，才表明余项在变小，即需要
$left| frac{f^{(n+1)} (xi_{n+1})(x-x_0)}{f^{(n)}(xi_{n})(n+1) } ight| < 1$
$|x-x_0| < left| frac{ f^{(n)}(xi_{n})(n+1) }{ f^{(n+1)}(xi_{n+1}) } ight|$
否则表明余项在变大。
对于泰勒级数来说，如果在$n$趋向于$infty$时，余项一直在变大，那么表明泰勒级数会越来越远离原来的函数。
泰勒级数近似值选取
从上述不等式还可以看出，在求某个点$x=x_1$的近似值时，$x_1$与$x_0$的距离越近，则余项越小，表明误差越小。
也可以参考某乎上的一篇不错的文章。该文章中提到的复数域在下一节有详细推导。
泰勒级数在复数域上的收敛性分析
如在实数域收敛分析的时候描述，函数能够展开成泰勒函数的条件是余项在$infty$处可以收敛。实数域毕竟也只是复数域的一部分，从复数域来分析能帮助我们了解泰勒级数的全貌。
复数平面的泰勒级数（Taylor Series in Complex Plane）
复数域的泰勒级数的结构跟实数的泰勒级数一样，只是把函数从实数往复数转变，即
$displaystyle{ f(z) =sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(x-x_0)^n}$
其中函数$f$为从复数到复数的映射$f: mathbb{C} o mathbb{C}$，常数为复数$z_0 in mathbb{C}$，变量为复数$z in mathbb{C}$。该式子可以简化为：
$displaystyle{ f(z) = sum_{n=0}^{infty}c_n(z-a)^n } qquad,qquad z,a,c_ninmathbb{C}$
收敛圆（Disk of Convergence）
从定义上来说，在复数平面上，如果泰勒级数在某一点$z'$趋于$infty$，那么就可以说泰勒级数$f(z')$是发散（diverge）的，否则为收敛（converge）。
如果泰勒级数在某有限点处发散的话，那么该泰勒级数的收敛域成一个圆盘（disk）状，称为收敛圆（Disk of Convergence）。该收敛圆的边界与圆心$a$的距离称为收敛半径（Radius of Convergence）$r$。这是泰勒级数的一个特性，下面我们将证明泰勒级数具有这种特性。
证明：
假设泰勒级数在有限点$z$处收敛，即有
$displaystyle{ sum_{n=0}^{infty}c_n(z-a)^n } < infty qquad , qquad for |z|<infty$
泰勒级数为无限项求和，因此我们能通过根值判别法（Root test）来分析泰勒级数的收敛性。把$c_n(z-a)^n $看作一个整体，即
$A_n = c_n(z-a)^n $
那么泰勒级数变成$displaystyle{ sum_{n=0}^{infty}A_n }$，根据Root test，有
$displaystyle{ C = limsup_{n o infty} sqrt[n]{ |A_n| } = limsup_{n o infty} sqrt[n]{ |c_n(z-a)^n| } = limsup_{n o infty} sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| }$
limsup表示的是上极限，$displaystyle{ limsup_{n oinfty} }$表示的是当$n$在无穷远处的上极限。Root test表明了当$C<1$时，泰勒级数收敛；当$C>1$时，泰勒级数发散；当$C=1$时，泰勒级数可能收敛或者发散。
我们上面假设泰勒级数在点$z$处收敛，即
$displaystyle{ C = limsup_{n o infty} sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| < 1 }$
$displaystyle{ |z - a| < frac{1}{limsup_{n oinfty}sqrt[n]{c_n} } }$
上面的式子意味着，要使得泰勒级数收敛，$z$与点$a$的距离必须小于
$displaystyle{r = frac{1}{limsup_{n oinfty}sqrt[n]{c_n} } }$
对于泰勒级数来说，$a$为选定的无限可导的一点，可以看作圆心，那么收敛域就是一个圆盘，圆盘的半径为$r$。当$r = 1/0$时，意味着半径无穷大，即泰勒级数在整个复数平面上都收敛。
收敛半径(Radius of Convergence)求解
在前面证明的时候我们算出了泰勒级数的收敛半径为
$displaystyle{r = frac{1}{limsup_{n oinfty}sqrt[n]{c_n} } }$
这看起来不太好计算，下面有另外一种计算方式：
根据比式判别法（Ratio test），只有当下面的式子成立时，泰勒级数收敛
$displaystyle{ lim_{n oinfty}frac{|A_{n+1}|}{|A_n|} = lim_{n oinfty}frac{|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_n(z-a)^n|} = lim_{n oinfty}frac{|c_{n+1}(z-a)|}{c_n} < 1 }$
因此有
$r = displaystyle{ lim_{n oinfty}left| frac{c_n}{c_{n+1}} ight| = lim_{n oinfty}left| frac{f^{(n)}(a)(n+1)}{f^{(n+1)}(a)} ight| }$
泰勒级数与原函数的关系
从复数平面上看，泰勒级数是从选定的某点$a$起，通过$n oinfty$不断拟合原函数$f$的一种方式，这种拟合的展开是圆心$a$对称的。因此，如果原函数$f$有奇点（singularity：如$frac{1}{0}$），并且距离$a$最近的奇点为$b$，那么泰勒级数为了拟合原函数，会在$b$点处趋于$infty$，即在$b$处发散，又由于泰勒级数自身的收敛圆特性，使得泰勒级数无法在收敛圆以外拟合原函数，收敛半径为$|b-a|$。
这也意味着，如果泰勒级数的收敛半径无穷大，那么泰勒级数就能在复数平面上完全拟合原函数，因此泰勒级数等于原函数。
例：
$f(x) = frac{1}{x}$，选取$a = 4$为无限求导点。当泰勒级数取前50阶时，可以看到：
在实数域，泰勒级数会在$(0,8)$收敛
在复数平面，泰勒级数会以$a = 4+0i$为圆心，收敛半径为$r=4$
Mathematica Script
(* Real Domain *)
a = 4;
g[x_] := 1/x;
h[x_, n_] := Normal[Series[g[x], {x, a, n}]];
Manipulate[
Plot[{g[x], Evaluate[h[x, n]]}, {x, -20, 20}, PlotRange -> 4,
PlotLegends -> "Expressions"], {n, 1, 60, 1}]
(* Complex Plane *)
ComplexFnPlot[f_, range_, options___] :=
Block[{rangerealvar, rangeimagvar, g},
g[r_, i_] := (f /. range[[1]] :> r + I i);
Plot3D[
Abs[g[rangerealvar, rangeimagvar]], {rangerealvar, Re[range[[2]]],
Re[range[[3]]]}, {rangeimagvar, Im[range[[2]]], Im[range[[3]]]},
options,
ColorFunction -> (Hue[Mod[Arg[g[#1, #2]]/(2*Pi) + 1, 1]] &),
ColorFunctionScaling -> False]];
ComplexFnPlot[h[z, 50], {z, -10 - 10 I, 10 + 10 I},
PlotRange -> {-4, 500}]