时延性（Delayed）

$f(t-b) leftrightarrow ?$

时延性在时域的表示为$f(t-b)$，函数整体比$f(t)$延后b。那么在频域该如何变化呢？

$egin{align*}
&quad int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(t-b)dt\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi is(u+b)}f(u)du quad u=t-b\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isu}e^{-2pi isb}f(u)du\
&=e^{-2pi isb}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isu}f(u)du\
&=e^{-2pi isb}F(s)
end{align*}$

因此，

$f(t-b)leftrightarrow e^{-2pi isb}F(s)$

$f(tpm b)leftrightarrow e^{pm 2pi isb}F(s)$

时域上的时移对应频域上的相移（Shift in time corresponds to a phase shift in frequency）。令$F(s) = |F(s)|e^{2pi i heta(s)}$，其中$|F(s)|$代表振幅（magnitude），$ heta(s)$代表相位（phase），那么，

$e^{-2pi isb}F(s)=|F(s)|e^{2pi i( heta(s)-sb)}$

上面的等式代表了频谱的振幅不变，而相位改变了。

尺度变化（scaling）

$f(at) leftrightarrow ?$

1. 当$a>0$时，

$egin{align*}
&quad int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(at)dt\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi is(frac{u}{a})}f(u)dfrac{u}{a} quad u=at\
&=frac{1}{a}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i(frac{s}{a})u}f(u)du\
&=frac{1}{a}F(frac{s}{a})
end{align*}$

2. 当$a<0$时

$egin{align*}
&quad int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(at)dt\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi is(frac{u}{a})}f(u)dfrac{u}{a} quad u=at\
&=frac{1}{a}int_{infty}^{-infty}e^{-2pi i(frac{s}{a})u}f(u)du\
&=-frac{1}{a}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i(frac{s}{a})u}f(u)du\
&=-frac{1}{a}F(frac{s}{a})
end{align*}$

把两种情况合在一起，有

$f(at) leftrightarrow frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$

下面在图像上观察时域与频域具体是如何变化的（以高斯函数为例子）

1. 当$a>1$时，

时域横向压缩，频域横向扩展、纵向压缩，即频域分散

2. 当$0<a<1$时

时域横向扩展，频域横向压缩、纵向扩展，即频域集中

上述情况表面了时域与频域不可能同时在一个方向上压缩与扩展。

卷积（convolution）

卷积可能算是信号处理中最重要的运算了。

信号处理可以被理解为：如何用一个函数（信号）调制另一个函数（信号）。（Signal Processing can be said to how can you use one function(signal) to modify another.）

大部分情况下，信号处理是着力于改变信号的频谱，也就是说，先对信号进行傅里叶变换，然后在频域进行处理，之和进行傅里叶逆变换得到处理过后的信号。

线性处理

即两个信号线性叠加

$egin{align*}
mathcal{F}(f+g)
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}(f(t)+g(t))dt\
&=int_{-infty}^{infty}left(e^{-2pi ist}f(t)+e^{-2pi ist}g(t) ight)dt\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(t)dt+int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}g(t)dt\
&=mathcal{F} f + mathcal{F} g
end{align*}$

频域相乘处理

$egin{align*}
mathcal{F}(f)mathcal{F}(g)
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}g(t)dtint_{-infty}^{infty}e^{-2pi isx}g(x)dx\
&=iint_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}e^{-2pi isx}g(t)f(x)dtdx\
&=iint_{-infty}^{infty}e^{-2pi is(t+x)}g(t)f(x)dtdx\
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}e^{-2pi is(t+x)}g(t)dt ight )f(x)dx\
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}e^{-2pi is(u)}g(u-x)du ight )f(x)dx quad u=t+x\
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}g(u-x)f(x)dx ight )e^{-2pi isu}du\
end{align*}$

令$h(u) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}g(u-x)f(x)dx }$，

那么，

$(mathcal{F} g)(mathcal{F} f) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi isu}h(u)du }$

卷积定义

卷积用符号$*$表示，运算方法如下

$(g*f)(x) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}g(x-y)f(y)dy }$

$mathcal{F}(g*f) = (mathcal{F} g)(mathcal{F} f)$

信号的卷积的傅里叶变换等于对这些信号进行傅里叶变换后的乘积。