热方程后续

上节课推导出热方程的傅里叶系数：

$C_k(t) = C_k(0)e^{-2pi ^2 k^2t}$

那么$C_k(0)$是什么?

上节课有提到温度有如下关系式：

$U(x,t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}C_k(t)e^{2pi ikx} }$

当$t=0$，代表初始时刻圆环上的温度分布

$f(x) = U(x,0) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}C_k(0)e^{2pi ikx} }$

则，$C_k(0)$为$f(x)$的傅里叶系数

$C_k(0) = hat{f}(k)$

因此，温度分布公式（热方程）如下：

$U(x,t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}hat{f}(k)e^{-2pi^2k^2t}e^{2pi ikx} }$

温度$U$与时间$t$的关系为：当$t o infty$，$-2pi^2k^2t o –infty$，$e^{-2pi^2k^2t} o 0$，$U o 0$。因此，圆环的温度最终会变为0。

热方程进一步推导，引入卷积

我们可以对热方程中的$hat{f}(k)$进行进一步分解

$hat{f}(k) = displaystyle{int_0^1 e^{-2pi iky}f(y)dy}$

考虑到初始时刻的温度分布$f(x)$与热方程$U(x,t)$中的位置变量$x$可能会取不同的值，我们在此把$f(x)$写成$f(y)$。

把$hat{f}(k)$代入热方程后，得

$egin{align*}
U(x,t) &=displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}(int_0^1 e^{-2pi iky}f(y)dy) e^{-2pi^2k^2t}e^{2pi ikx}} \
&=displaystyle{int_0^1(sum_{k=-infty}^{infty}e^{-2pi iky}e^{2pi ikx}e^{-2pi^2k^2t})f(y)dy } \
&=displaystyle{int_0^1(sum_{k=-infty}^{infty}e^{2pi ik(x-y)}e^{-2pi^2k^2t})f(y)dy }
end{align*}$

令

$g(x,t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}e^{2pi ikx}e^{-2pi^2k^2t} }$

上面的等式被称为热核方程（heat kernel），则

$U(x,t) = displaystyle{int_0^1g(x-y,t)f(y)dy }$

如上面的等式，热方程被转换成了卷积的表现形式

从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数到傅里叶变换是从周期现象到非周期现象的转变，我们可以将非周期函数看做是周期函数的一种特殊情况：周期趋于无穷。

对于周期为1的函数

$C_k = displaystyle{hat{f}(k) = int_0^1e^{-2pi ikt}f(t)dt }$

$f(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}hat{f}(k)e^{2pi ikt} }$

频谱图如下

由于$C_k$为复数形式，因此我们无法在图上画出，因此只能画出$left | C_k ight | = left | a + bi ight | = sqrt{a^2 + b^2}$。另外我们在第二节课的时候也学过，$C_k$是y轴对称的。

对于周期为T的函数

$egin{align*}
C_k = displaystyle{hat{f}(k) } &= displaystyle{frac{1}{T}int_0^1e^{-frac{2pi }{T}ikt}f(t)dt } \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}e^{-2pi ifrac{k}{T}t}f(t)dt }
end{align*}.$

$f(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}hat{f}(k)e^{2pi ifrac{k}{T}t} }$

频谱图如下

由于周期为$T$，因此频率为$frac{1}{T}$。当$T o infty$，$frac{1}{T} o 0$，此时频谱会变得连续了。

$T o infty$

但是是否仅仅让$T o infty$就能得到傅里叶变换？答案是否定的，下面来看一个例子

有一个函数f(t)如下图

该函数的傅里叶系数求解过程如下

$egin{align*}
C_k = displaystyle{hat{f}(k) }
&= displaystyle{frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}e^{-2pi ifrac{k}{T}t}f(t)dt } \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_a^b e^{-2pi ifrac{k}{T}t}f(t)dt } \
&leqslant displaystyle{frac{1}{T}int_a^b left | e^{-2pi ifrac{k}{T}t} ight | left |f(t) ight |dt } \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_a^b Mod(e^{-2pi ifrac{k}{T}t}) left |f(t) ight |dt } \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_a^b Mod(cos(-2pi frac{k}{T}t) + isin(-2pi frac{k}{T}t)) left |f(t) ight |dt } quad spread with Eular Formula \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_a^b sqrt{cos^2(-2pi frac{k}{T}t) + sin^2(-2pi frac{k}{T}t)} left |f(t) ight |dt } \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_a^b 1left |f(t) ight |dt } \
&= displaystyle{frac{1}{T}int_a^b left |f(t) ight |dt } \
&= frac{M}{T}
end{align*}.$

即对于所有$C_k$都有$C_k leqslant frac{M}{T}$。

$M$是该函数绝对值的积分，是有限值，如果$T o infty$，则所有的$C_k o 0$。所有傅里叶系数为0则该傅里叶变换毫无意义。