【P4211 LNOI2014】LCA——树链剖分 +询问离线

（7.16晚）更完先在B站颓一会儿……

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（以下为luogu题面）

题目描述

给出一个n个节点的有根树（编号为0到n-1，根节点为0）。一个点的深度定义为这个节点到根的距离+1。 设dep[i]表示点i的深度，LCA(i,j)表示i与j的最近公共祖先。 有q次询问，每次询问给出l r z，求∑（l≤i≤r ​dep[LCA(i,z)]）

输入输出格式

输入格式：

第一行2个整数n q。 接下来n-1行，分别表示点1到点n-1的父节点编号。 接下来q行，每行3个整数l r z。

输出格式：

输出q行，每行表示一个询问的答案。每个答案对201314取模输出

说明

共5组数据，n与q的规模分别为10000,20000,30000,40000,50000。

　　需要说明的是，这道题的思路跟LCA的三种求法无关（树剖太暴力了，而且确实会用到树剖），也就是说没有丝毫的暴力分可拿。（掀桌）

　　从这道题中对于深度的定义可以发现，两个点LCA的深度等价于它们的公共祖先的数目。那么问题的本质是，每次给定一个点集，求集合中每个点与一个定点的祖先数目的累计。考虑这样的暴力处理：对于任取一个点u与所给定点z，我们可以先给u的每个祖先都打一层标记，然后询问从z到根有标记的点的数目。这个过程显然可以用树剖处理，我们在树剖序上架一个线段树支持区间修改、区间查询，每个这样的询问可以做到log^2n的复杂度。

　　如果我们对每次询问，都把点集中的每个点这样打一遍祖先的标记再查询z，总复杂度会多出一个q来，显然需要进一步优化。题中给出的点集有一个非常好的性质：点集中的点处于一段连续区间中。那么，我们可以把每个询问[l, r]差分为[1, l - 1]和[1, r]两个询问，那么需要维护的就只有形如[1, R]与每个z的关系了。

　　因此我们把询问离线差分后按右端点排序，从左向右扫描点集[1, n]并打标记，每遇到一个询问则查询给定z与根之间的标记数目，统计进询问数组即可。

代码：

  1. #include <cstdio>  
  2. #include <iostream>  
  3. #include <cstring>  
  4. #include <algorithm>  
  5. #define lowbit(i) (i & -i)  
  6. #define maxn 50010  
  7. #define mod 201314  
  8. template <typename T>  
  9. void read(T &x) {  
  10.     x = 0;  
  11.     int f = 1;  
  12.     char ch = getchar();  
  13.     while (!isdigit(ch)) {  
  14.         if (ch == '-')  
  15.             f = -1;  
  16.         ch = getchar();  
  17.     }  
  18.     while (isdigit(ch)) {  
  19.         x = x * 10 + (ch ^ 48);  
  20.         ch = getchar();  
  21.     }  
  22.     x *= f;  
  23.     return;  
  24. }  
  25. using namespace std;  
  26. int head[maxn], top;  
  27. struct E {  
  28.     int to, nxt;  
  29. } edge[maxn];  
  30. inline void insert(int u, int v) {  
  31.     edge[++top] = (E) {v, head[u]};  
  32.     head[u] = top;  
  33. }  
  34. int n, q, ans[maxn], qtp;  
  35. struct Q {  
  36.     int r, z, id;  
  37.     bool op;  
  38.     friend bool operator < (Q a, Q b) {  
  39.         return a.r < b.r;  
  40.     }  
  41. } ask[maxn << 1];  
  42. /*namespace BIT { 
  43.     int bit[maxn]; 
  44.     void modify(int x, int val) { 
  45.         for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))   
  46.             bit[i] += val; 
  47.     } 
  48.     int presum(int x) { 
  49.         int sum = 0; 
  50.         for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) 
  51.             sum = (sum + bit[i]) % mod; 
  52.         return sum; 
  53.     } 
  54. }*/  
  55. namespace Segment_tree {  
  56.     #define lc (nd<<1)  
  57.     #define rc ((nd<<1)|1)  
  58.     #define mid ((l+r)>>1)  
  59.     struct node {  
  60.         int val, len;  
  61.         friend node operator + (node a, node b) {  
  62.             return (node) {(a.val + b.val) % mod, a.len + b.len};  
  63.         }  
  64.     } seg[maxn << 2];  
  65.     int tag[maxn << 2];  
  66.     inline void update(int nd) {  
  67.         seg[nd] = seg[lc] + seg[rc];  
  68.     }  
  69.     inline void put_tag(int nd, int op) {  
  70.         seg[nd].val += op * seg[nd].len;  
  71.         tag[nd] += op;  
  72.     }  
  73.     inline void push_down(int nd) {  
  74.         put_tag(lc, tag[nd]);  
  75.         put_tag(rc, tag[nd]);  
  76.         tag[nd] = 0;  
  77.     }  
  78.     void build(int nd, int l, int r) {  
  79.         if (l == r) {  
  80.             seg[nd] = (node) {0, 1};  
  81.             return;  
  82.         }  
  83.         build(lc, l, mid);  
  84.         build(rc, mid + 1, r);  
  85.         update(nd);  
  86.     }  
  87.     void modify(int nd, int l, int r, int ql, int qr, int val) {  
  88.         if (l >= ql && r <= qr) {  
  89.             put_tag(nd, val);  
  90.             return;  
  91.         } else if (l > qr || r < ql)  
  92.             return;  
  93.         push_down(nd);  
  94.         modify(lc, l, mid, ql, qr, val);  
  95.         modify(rc, mid + 1, r, ql, qr, val);  
  96.         update(nd);  
  97.         return;  
  98.     }  
  99.     int query(int nd, int l, int r, int ql, int qr) {  
  100.         if (l >= ql && r <= qr)     
  101.             return seg[nd].val;  
  102.         if (l > qr || r < ql)  
  103.             return 0;  
  104.         push_down(nd);  
  105.         return (query(lc, l, mid, ql, qr) + query(rc, mid + 1, r, ql, qr)) % mod;  
  106.     }  
  107. }  
  108. namespace Div_tree {  //树剖
  109. //  using namespace BIT;  //试图用树状数组维护区间修改的惨痛失败
  110.     using namespace Segment_tree;  
  111.     int dfn[maxn], size[maxn], ftop[maxn], d[maxn], son[maxn], f[maxn];  
  112.     int tmr;  
  113.     void dfs1(int u, int pre) {  
  114.         f[u] = pre;  
  115.         d[u] = d[pre] + 1;  
  116.         size[u] = 1;  
  117.         for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {  
  118.             int v = edge[i].to;  
  119.             dfs1(v, u);  
  120.             size[u] += size[v];  
  121.             if (size[v] > size[son[u]])  
  122.                 son[u] = v;  
  123.             }  
  124.     }  
  125.     void dfs2(int u, int tp) {  
  126.         dfn[u] = ++tmr;  
  127.         ftop[u] = tp;  
  128.         if (!son[u])      
  129.             return;  
  130.         dfs2(son[u], tp);  
  131.         for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt) {  
  132.             int v = edge[i].to;  
  133.             if (v != son[u])  
  134.                 dfs2(v, v);  
  135.         }  
  136.     }  
  137.     void Mrange(int u, int v, int val) {  
  138.         while (ftop[u] != ftop[v]) {  
  139.             if (d[ftop[u]] < d[ftop[v]])  
  140.                 swap(u, v);  
  141.             modify(1, 1, n, dfn[ftop[u]], dfn[u], val);  
  142.             u = f[ftop[u]];  
  143.         }  
  144.         if (d[u] < d[v]) swap(u, v);  
  145.         modify(1, 1, n, dfn[v], dfn[u], val);  
  146.         return;  
  147.     }  
  148.     int Qrange(int u, int v) {  
  149.         int sum = 0;  
  150.         while (ftop[u] != ftop[v]) {  
  151.             if (d[ftop[u]] < d[ftop[v]])  
  152.                 swap(u, v);  
  153.             sum = (sum + query(1, 1, n, dfn[ftop[u]], dfn[u])) % mod;   
  154.             u = f[ftop[u]];  
  155.         }  
  156.         if (d[u] < d[v]) swap(u, v);  
  157.         sum += query(1, 1, n, dfn[v], dfn[u]);  
  158.         return sum % mod;  
  159.     }  
  160. } using namespace Div_tree;  
  161. void init() {  
  162.     build(1, 1, n);  
  163.     dfs1(1, 0);  
  164.     dfs2(1, 1);  
  165. }  
  166. int main() {  
  167.     read(n), read(q);  
  168.     int u, v, z;  
  169.     for (int i = 2; i <= n; ++i)//编号+1   
  170.         read(u), ++u, insert(u, i);  
  171.     for (int i = 1; i <= q; ++i) {  
  172.         read(u), read(v), read(z);  
  173.         ask[++qtp] = (Q) {u, z+1, i, 0};  //拆询问
  174.         ask[++qtp] = (Q) {v+1, z+1, i, 1};  
  175.     }  
  176.     sort(ask + 1, ask + qtp + 1);  
  177.     init();  
  178.     int i = 0, j = 1;  
  179.     while (j <= qtp) {  
  180.         while (i < ask[j].r)  
  181.             Mrange(1, ++i, 1);  
  182.         if (ask[j].op)  
  183.         ans[ask[j].id] += Qrange(1, ask[j].z);  //按标记统计进答案
  184.         else ans[ask[j].id] -= Qrange(1, ask[j].z);  
  185.         ++j;  
  186.     }  
  187.     for (int i = 1; i <= q; ++i)  
  188.         printf("%d ", (ans[i]+mod)%mod);  
  189.     return 0;  
  190. }  
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