HDU5073 Galaxy 题解报告

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【题目大意】

从$n$颗行星中取走$k$个，每颗行星的质量都为1，记$d_i$为第$i$颗行星到所有行星的重心的距离，问最小的转动惯量$I=sum_{i=1}^{k}w_i*d_i^2$为多少。

【思路分析】

首先我们考虑整理一下求$I$的式子，因为所有的行星质量$w$都为1，所以

$$I=sum_{i=1}^{k}d_i^2$$

我们设重心的位置为$x$，第$i$颗行星的位置为$a_i$，则

$$I=sum_{i=1}^{k}(a_i-x)^2$$

$$I=sum_{i=1}^{k}a_i^2+k*x^2-2*sum_{i=1}^{k}a_i*x$$

我们把行星按照位置坐标从小到大排序，然后记录两个前缀和$s1$和$s2$，其中$s1$记录数组$a$的前缀和，$s2$记录$a^2$的前缀和。

如果要使得$I$最小，那么显然选取一段连续的行星会更优，所以我们可以直接从小到大枚举一段行星中最左边的一个，连续$n-k$个行星的重心就是这$n-k$个行星的坐标的平均数。

【代码实现】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define g() getchar()
#define rg register
#define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
#define back(i,a,b) for(rg int i=a;i>=b;i--)
#define db double
#define ll long long
#define il inline
#define pf printf
#define db double
using namespace std;
int fr(){
    int w=0,q=1;
    char ch=g();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-') q=-1;
        ch=g();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=g();
    return w*q;
}
const int N=50002;
int n,k,T;
db a[N],s1[N],s2[N],ans;
int main(){
    //freopen("","r",stdin);
    //freopen("","w",stdout);
    T=fr();
    while(T--){
        n=fr();k=fr();ans=1e19;
        go(i,1,n) a[i]=(db)fr();
        if(n==k) {pf("0
");continue;}//一定要特判n=k的情况！
        sort(a+1,a+1+n);
        go(i,1,n) s1[i]=s1[i-1]+a[i],s2[i]=s2[i-1]+a[i]*a[i];
        rg int m=n-k;
        go(i,1,k+1){
            rg int j=i+m-1;
            rg db x=1.0*(s1[j]-s1[i-1])/m;
            ans=min(ans,(db)m*x*x+s2[j]-s2[i-1]-(db)2*(db)(s1[j]-s1[i-1])*x);
        }
        pf("%.10lf
",ans);
    }
    return 0;
}