连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的四则运算的连续性
由函数在某点连续和极限的四则运算,可以得到以下定理:
定理1
设函数 (f(x)) 和 (g(x)) 在点 (x_0) 处连续,则它们的和(差)(fpm g),积 (fcdot g),商 (frac{f}{g}(g ot=0))都在点 (x_0) 处连续.
反函数与复合函数的连续性
定理2
如果函数 (y=f(x)) 在区间 (I_x) 上单调增加(单调减少)且连续,那么它的反函数 (x=f^{-1}(y)) 也在对于的区间 (I_y={y|y=f(x),xin I_x}) 上单u调递增(单调递减)且连续.
定理3
设函数 (y=f[g(x)]) 由函数 (u=g(x)) 和函数 (y=f(x)) 复合而成,(mathring{U}(x_0)in D_{fcirc g}).若 (lim_{x o x_0}g(x)=u_0),而函数 (y=f(u)) 在 (u=u_0) 连续则$$lim_{x o x_0}f[g(u)]=lim_{u o u_0}f(u)=f(u_0).$$
证:在复合函数极限运算法则中,令 (A=f(u_0))(这时 (f(u)) 在点 (u_0) 连续),并取消"存在 (delta_0>0),当 (xinmathring{U}(x_0,delta_0)) 时,有 (g(x) ot=u_0)"这一条件,遍得上面定理,这里 (g(x) ot=u_0) 这条件可以取消的理由是:(forallvarepsilon>0),使 (g(x)=u_0) 成立的那些点 (x),显然也使 (|f[g(x)]-f(u_0)|<varepsilon) 成立.因此附加 (g(x) ot=u_0) 这条件也没有必要了.
因为定理3中有$$lim_{x o x_0}f(x)=u_0,lim_{u o u_0}f(u)=f(u_0),$$所以$$lim_{x o x_0}f[g(u)]=lim_{u o u_0}f(u)=f(u_0)$$可以表示成$$lim_{x o x_0}f[g(x)]=f[lim_{x o x_0}g(x)].$$上式表示,在定理3的条件下,如果作代换 (u=f(x)),那么求 (lim_{x o x_0}f[g(x)]) 就化为求 (lim_{u o u_0}f(u)),这里 (u_0=lim_{x o x_0}g(x)).在定理3的条件下,求复合函数 (f[g(x)]) 的极限时,函数符号 (f) 与极限符号 (lim_{x o x_0}) 可以交换次序.
把定理3中的 (x o x_0) 换成 (x oinfty),可以得到类似的定理.
定理4
**设函数 (y=f[g(x)]) 是由函数 (u=g(x)) 和函数 (y=f(u)) 复合而成,(U(x_0)subset D_{fcirc g}).若函数 (u=g(x)) 在 (x=x_0) 连续,且 (g(x_0)=u_0),而函数 (y=f(x)) 在 (u=u_0) 连续,则符合函数 (y=f[g(x)]) 在 (x=x_0) 也连续.
证:只要在定理3中令 (u_0=g(x_0)),这就表示 (g(x)) 在点 (x_0) 连续,于是$$lim_{x o x_0}f[g(u)]=lim_{u o u_0}f(u)=f(u_0)$$得$$lim_{x o x_0}f[g(x)]=f(u_0)=f[g(x_0)],$$这就证明了符合函数 (f[g(x)]) 在点 (x_0) 的连续性.