函数的连续性与间断点
函数的连续性
定义
设函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 的某一邻域内有定义,如果$$lim_{Delta x o0}Delta y=lim_{Delta x o 0}[f(x_0+Delta x)-f(x_0)]=0,$$那么就称函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 连续.
为了应用方便起见,下面把函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 连续的定义用不同的方式来叙述.
设 (x=x_0+Delta x),则 (Delta x o 0) 就是 (x o x_0).又由于$$Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0)=f(x)-f(x_0),$$即$$f(x)=f(x_0)+Delta y,$$可见 (Delta y o0) 就是 (f(x) o f(x_0)),因此$$lim_{Delta x o0}Delta y$$和$$lim_{x o x_0}f(x)=f(x_0)$$相当.所以函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 连续的定义又可叙述如下:
设函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 的某一邻域内有定义,如果$$lim_{x o x_0}f(x)=f(x_0),$$那么就称函数 (f(x)) 在点 (x_0) 连续.
由函数 (f(x)) 当 (x o x_0) 时的极限的定义可知,上述定义也可以用"(varepsilon-delta)"语言表达:
(f(x)) 在点 (x_0) 连续 (Leftrightarrowforallvarepsilon>0),(exists delta>0),当 (|x-x_0|<delta) 时,有 (|f(x)-f(x_0)|<varepsilon).
下面引出左连续和右连续的概念.
如果 (lim_{x o x_0^-}f(x)=f(x_0^-)) 存在且等于 (f(x_0)),即$$f(x_0^-)=f(x_0),$$那么就说函数 (f(x)) 在点 (x_0) 左连续.
如果 (lim_{x o x_0^+}f(x)=f(x_0^+)) 存在且等于 (f(x_0)),即$$f(x_0^+)=f(x_0),$$那么就说函数 (f(x)) 在点 (x_0) 右连续.
在区间上没一点都是连续的函数叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包含端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
曾经证明过:如果 (f(x)) 是有理整函数(多项式),那么对于任意实数 (x_0),都有 (lim_{x o x_0}f(x)=f(x_0)),因此有理整函数在区间 ((-infty,+infty)) 内是连续的.对于有理分式函数 (F(x)=frac{P(x)}{Q(x)}),只要 (Q(x) ot=0),就有 (lim_{x o x_0}F(x)=F(x_0)),因此有理分式函数在其定义域内的每个点都是连续的.