一、题目描述
给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出: 4 解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
说明:
- 可能会有多种最长上升子序列的组合,你只需要输出对应的长度即可。
- 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?
二、解题思想
(1)动态规划
1、算法:
出现“最长”这种优化问题的字眼,首先想到的就是使用动态规划。
定义 dp[i]为考虑前 i个元素,以第 i个数字结尾的最长上升子序列的长度,注意 nums[i] 必须被选取。
我们从小到大计算 dp[]数组的值,在计算 dp[i]之前,我们已经计算出 dp[0...i-1]的值,则状态转移方程为:
dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]
即考虑往 dp[0…i−1] 中最长的上升子序列后面再加一个nums[i]。由于 dp[j]代表 nums[0…j] 中以 nums[j] 结尾的最长上升子序列,所以如果能从 dp[j]这个状态转移过来,那么 nums[i] 必然要大于 nums[j],才能将 nums[i] 放在 nums[j] 后面以形成更长的上升子序列。
最后,整个数组的最长上升子序列即所有 dp[i]中的最大值。
LIS =max(dp[i]),其中0≤i<n
以下动画演示了该方法:
2、代码:
Java
public class Solution { public int lengthOfLIS(int[] nums) { if (nums.length == 0) { return 0; } int[] dp = new int[nums.length]; dp[0] = 1; int maxans = 1; for (int i = 1; i < dp.length; i++) { int maxval = 0; for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[i] > nums[j]) { maxval = Math.max(maxval, dp[j]); } } dp[i] = maxval + 1; maxans = Math.max(maxans, dp[i]); } return maxans; } }
C++
class Solution { public: int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { int n=(int)nums.size(); if (n == 0) return 0; vector<int> dp(n, 0); for (int i = 0; i < n; ++i) { dp[i] = 1; for (int j = 0; j < i; ++j) { if (nums[j] < nums[i]) { dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } } return *max_element(dp.begin(), dp.end()); } };
Python3
class Solution: def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int: if not nums: return 0 dp = [] for i in range(len(nums)): dp.append(1) for j in range(i): if nums[i] > nums[j]: dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) return max(dp)
来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。