Educational Codeforces Round 89 (Rated for Div. 2)D. Two Divisors

这是道很有意思的数论题

题目链接

https://codeforces.com/contest/1366/problem/D

题目大意

给你一个长度为 N 的数组 a , 对于数组中的每个数 ai

你需要找到 ai 的两个因子 d1 , d2 使得 gcd(d1 + d2 , ai) = 1 

解题思路

设 p1 , p2 , p3 , ... , pm 为 ai 的质因子 , d1 = p1^k , d2 = ai / p1^k

其中 p1 为 ai 的最小质因子 , ai % p^k = 0 且 ai % p1^(k + 1) != 0

那么显然 $left( d_{1}+d_{2} ight) \% p_{1} eq 0,left( d_{1}+d_{2} ight) \% p_{2} eq 0,ldots ,left( d_{1}+d_{2} ight) \% p_{m} eq 0$

所以 ai 的所有质因子 d1 + d2 都不包含 , 即 d1 + d2 与 ai 互质 ( 当 d2 = 1 时答案为 -1 )

而本题数据范围很大 , 所以我们得先用线性筛找出 1 ~ 1e7 内每个数的 p1 然后再操作

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int prime[10000100],minprime[10000100];
int euler(int n)
{
    int c = 0;
    for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)
    {
        if(!minprime[i]) prime[++ c] = i , minprime[i] = i;
        for(int j = 1 ; j <= c && i * prime[j] <= n ; j++)
        {
            minprime[i * prime[j]] = prime[j];
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    return c;
}
const int N = 5e5 + 10;
int n , a[N] , ans[N][2];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    euler(1e7);
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> a[i];
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        int x = a[i] , now = 1 , mi = minprime[x];
        while(x % mi == 0) x /= mi , now *= mi;
        if(now != 1 && x != 1) ans[i][0] = now , ans[i][1] = x;
        else ans[i][0] = -1 , ans[i][1] = -1;
    }
    for(int j = 0 ; j <= 1 ; j ++)
    {
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cout << ans[i][j] << " ";
        cout << '
';
    }
    return 0;
}