关于树状数组的小总结（树状数组）

该博客借鉴大佬博客理论内容：https://www.cnblogs.com/xenny/p/9739600.html

1.什么是树状数组？

顾名思义，就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。

2.树状数组可以解决什么问题

可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

3.树状数组和线段树的区别在哪里

树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，这两者的区别在哪里呢？树状数组的系数要少很多，就比如字符串模拟大数可以解决大数问题，也可以解决1+1的问题，但没人会在1+1的问题上用大数模拟。

4.树状数组的优点和缺点

修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。

缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。

一、树状数组介绍

二叉树大家一定都知道，如下图

如果每个父亲都存的是两个儿子的值，是不是就可以解决这类区间问题了呢。是的没错，但是这样的树形结构，叫做线段树。

那真的的树形结构是怎样的，和上图类似，但省去了一些节点，以达到用数组建树。

黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有

  • C[1] = A[1];
  • C[2] = A[1] + A[2];
  • C[3] = A[3];
  • C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
  • C[5] = A[5];
  • C[6] = A[5] + A[6];
  • C[7] = A[7];
  • C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

可以发现，这颗树是有规律的

C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i];   //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

例如i = 8(1000)时候，k = 3，可自行验证。

这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

而根据上面的式子，容易的出SUMi = C[i] + C[i-2k1] + C[(i - 2k1) - 2k2] + .....；

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

现在新的问题来了2^k该怎么求呢，不难得出2^k = i&(i^(i-1));但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，2^k = i&(-i);

为什么呢？

这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有
       ● 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；
       ●当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。
       ●当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。 
       ●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2^k。
        总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。

而且这个有一个专门的称呼，叫做lowbit，即取2^k。

二、如何建立树状数组

上面已经解释了如何用树状数组求区间和，那么如果我们要更新某一个点的值呢，还是一样的，上面说了C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]，那么如果我们更新某个A[i]的值，则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有

A[i] 包含于 C[i + 2k]、C[(i + 2k) + 2k]...；

好，现在已经搞清楚了更新和求和，就可以来建树状数组了。如果上面的求和、更新或者lowbit步骤还没搞懂的化，建议再思考弄懂再往下看。

那么构造一个树状数组则为

 1 int n;
 2 int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组
 3 
 4 int lowbit(int x){
 5     return x&(-x);
 6 }
 7 
 8 void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
 9     while(i <= n){
10         c[i] += k;
11         i += lowbit(i);
12     }
13 }
14 
15 int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
16     int res = 0;
17     while(i > 0){
18         res += c[i];
19         i -= lowbit(i);
20     }
21     return res;
22 }

三、树状数组的实际应用

1.单点修改，区间查询

题目：hdu-1166 敌兵布阵

题意：有n个敌军军营，需要及时的了解到各个军营中的敌军数目，有增（点），减（点），查询（区间）三种操作。

ac代码：

 1 //from:Onion
 2 //hdu 1166 树状数组 单点更新区间查询 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<cmath>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 
11 const int maxn=1e5+10;
12 int a[maxn],c[maxn];
13 int n;
14 int lowbit(int x)
15 {
16     return x&-x;
17 }
18 void update(int x,int val)
19 {
20     while(x<=n)
21     {
22         c[x]+=val;
23         x+=lowbit(x);
24     }
25 }
26 int query(int x)
27 {
28     int res=0;
29     while(x>0)
30     {
31         res+=c[x];
32         x-=lowbit(x);
33     }
34     return res;
35 }
36 int main()
37 {
38     int t;
39     scanf("%d",&t);
40     int kase=0;
41     while(t--)
42     {
43         scanf("%d",&n);
44         memset(a,0,sizeof(a)); 
45         memset(c,0,sizeof(c));
46         for(int i=1;i<=n;i++)
47         {
48             scanf("%d",&a[i]);    
49             update(i,a[i]);
50         }    
51         printf("Case %d:
",++kase);
52         char op[10];
53         while(1)
54         {
55             scanf("%s",&op);
56             if(strcmp(op,"End")==0)
57                 break;
58             if(op[0]=='Q')
59             {
60                 int x,y;
61                 scanf("%d%d",&x,&y);
62                 printf("%d
",query(y)-query(x-1));
63             }
64             else if(op[0]=='A')
65             {
66                 int x,y;
67                 scanf("%d%d",&x,&y);
68                 update(x,y);
69             }
70             else if(op[0]=='S')
71             {
72                 int x,y;
73                 scanf("%d%d",&x,&y);
74                 update(x,-y);
75             }
76         }
77     }
78 }

2.区间修改，单点查询

如果题目是让你把x-y区间内的所有值全部加上k或者减去k，然后查询操作是问某个点的值，这种时候该怎么做呢。如果是像上面的树状数组来说，就必须把x-y区间内每个值都更新，这样的复杂度肯定是不行的，这个时候，就不能再用数据的值建树了，这里我们引入差分，利用差分建树。

假设我们规定A[0] = 0;

则有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，即前面i项的差值和，这个有什么用呢？例如对于下面这个数组

  • A[] = 1 2 3 5 6 9
  • D[] = 1 1 1 2 1 3

如果我们把[2,5]区间内值加上2，则变成了

  • A[] = 1 4 5 7 8 9
  • D[] = 1 3 1 2 1 1

发现了没有，当某个区间[x,y]值改变了，区间内的差值是不变的，只有D[x]和D[y+1]的值发生改变，至于为什么我想我就不用解释了吧。

所以我们就可以利用这个性质对D[]数组建立树状数组

题目：洛谷3368 【模板】树状数组2

题意：已知一个数列，你需要进行下面两种操作：1.将某区间每一个数数加上x，2.求出某一个数的值

ac代码：

 1 //from:Onion
 2 //洛谷3368  树状数组-区间修改单点查询 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<cmath>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 
11 const int maxn=1e6+10;
12 int a[maxn],c[maxn];
13 int n,m;
14 int lowbit(int x)
15 {
16     return x&-x;
17 }
18 void update(int x,int val)
19 {
20     while(x<=n)
21     {
22         c[x]+=val;
23         x+=lowbit(x);
24     }
25 }
26 int query(int x)
27 {
28     int res=0;
29     while(x>0)
30     {
31         res+=c[x];
32         x-=lowbit(x);
33     }
34     return res;
35 }
36 
37 
38 int main()
39 {
40     scanf("%d%d",&n,&m);
41     a[0]=0;
42     for(int i=1;i<=n;i++)
43     {
44         scanf("%d",&a[i]);
45         update(i,a[i]-a[i-1]);
46     }
47     int op,x,y,k;
48     while(m--)
49     {
50         scanf("%d",&op);
51         if(op==1)
52         {
53             scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
54             update(x,k);//A[x]-A[x-1]增加k 
55             update(y+1,-k);//A[y+1]-A[y]减少k 
56         }
57         else if(op==2)
58         {
59             scanf("%d",&x);
60             printf("%d
",query(x));
61         }
62     }
63 }

3.区间修改，区间查询

上面我们说的差值建树状数组，得到的是某个点的值，那如果我既要区间更新，又要区间查询怎么办。这里我们还是利用差分，由上面可知

∑ni = 1A[i] = ∑ni = 1 ∑ij = 1D[j];

则A[1]+A[2]+...+A[n]

= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n]) 

= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]

= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])

所以上式可以变为∑ni = 1A[i] = n*∑ni = 1D[i] -  ∑ni = 1( D[i]*(i-1) );

如果你理解前面的都比较轻松的话，这里也就知道要干嘛了，维护两个数状数组，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);

题目：poj 3468  A Simple Problem with Integers

题意：给定序列，有两种操作，修改某段区间（整体加减值），或者查询某段区间

ac代码：

 1 //from:Onion
 2 //poj 3468 树状数组 区间修改区间查询 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<cmath>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 
11 const int maxn=1e5+1000;
12 ll a[maxn];
13 ll c1[maxn];
14 ll c2[maxn];
15 int n,m;
16 int lowbit(int x)
17 {
18     return x&-x;
19 }
20 void update(int x,ll val)
21 {
22     int i=x;
23     while(i<=n)
24     {
25         c1[i]+=val;
26         c2[i]+=(x-1)*val;
27         i+=lowbit(i); 
28     }
29 }
30 ll query(int x)
31 {
32     int i=x;
33     ll res=0;
34     while(i>0)
35     {
36         res+=x*c1[i]-c2[i];
37         i-=lowbit(i);
38     }
39     return res;
40 }
41 int main()
42 {
43     scanf("%d%d",&n,&m);
44     a[0]=0;
45     for(int i=1;i<=n;i++)
46     {
47         scanf("%lld",&a[i]);
48         update(i,a[i]-a[i-1]);
49     }
50     char op[5];
51     int x,y,k;
52     while(m--)
53     {
54         scanf("%s",&op);
55         if(op[0]=='Q')
56         {
57             scanf("%d%d",&x,&y);
58             printf("%lld
",query(y)-query(x-1));
59         }
60         else if(op[0]=='C')
61         {
62             scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
63             update(x,k);
64             update(y+1,-k);
65         }
66     }
67 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Spring-Onion/p/11326186.html