数学整合 新（LUOGU）

1.卡特兰数（P2532）

递推式：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

前十项（从零开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,

int n;
unsigned long long a[550<<1];

int main(){
    n=read();
    a[0]=1; a[1]=1;
    for(rint i=2;i<=n+n;i++) a[i]=1ull*a[i-1]*i;
    unsigned long long ans=a[n+n]/a[n]/a[n]/(n+1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 2.第二类斯特林数(P3904)

s(n,0)=0^n;　　s(n,1)=s(n,n)=1; 　　s(n,m)=s(n-1,m-1)+m*s(n-1,m);

//不加高精
int n,m;
int f[51][51];

int main(){
    n=read();m=read();
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(rint i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1;
    for(rint j=2;j<=m;j++) 
        for(rint i=1;i<=n;i++)
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+j*f[i-1][j];
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

//使用高精
int n,m;
long long f[51][51][1010]={0};

inline void update(int u,int v){
    for(rint i=1;i<=max(f[u-1][v-1][0],f[u-1][v][0]);i++)
        f[u][v][i]+=f[u-1][v-1][i]+f[u-1][v][i]*v;
    
    f[u][v][0]=max(f[u-1][v][0],f[u-1][v-1][0]);
    
    for(rint i=1;i<=f[u][v][0];i++)
        f[u][v][i+1]+=f[u][v][i]/10,
        f[u][v][i]=f[u][v][i]%10;
        
    while(f[u][v][f[u][v][0]+1]){
        f[u][v][0]++;
        f[u][v][f[u][v][0]+1]+=f[u][v][f[u][v][0]]/10;
        f[u][v][f[u][v][0]]%=10;
    }
}

int main(){
    n=read();m=read();
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[1][1][0]=1;f[1][1][1]=1;
    
    for(rint i=2;i<=n;i++)
        for(rint j=1;j<=i;j++)
            update(i,j);
    
    if(f[n][m][0]==0){
        printf("0
");
        return 0;
    }
    for(rint i=f[n][m][0];i>=1;i--)
        cout<<f[n][m][i];
    cout<<endl;
    return 0;
}

3.斐波那契数列(P1962)

Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2](Fib[0]=1,Fib[1]=1);

//矩阵乘法
struct matrix{    long long m[5][5];}a,b,ans;
long long n;

const int md=1e9+7;

inline matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix ans;
    for(rint i=1;i<=2;i++)
        for(rint j=1;j<=2;j++){
            ans.m[i][j]=0;
            for(rint k=1;k<=2;k++)
                ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%md;
        }
    return ans;
}

inline matrix matpow(matrix a,long long b){
    matrix ans=a;b--;
    while(b){
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    cin>>n;
    if(n<=2){    printf("1
");return 0;}
    a.m[1][1]=1;a.m[2][1]=1;a.m[1][2]=0;a.m[2][2]=0;
    b.m[1][1]=1;b.m[1][2]=1;b.m[2][1]=1;b.m[2][2]=0;
    b=matpow(b,n-1);
    ans=mul(a,b);
    cout<<ans.m[2][1]<<endl;//输出的是下面的f(n)  上面的是f(n+1)
    return 0;
}