证明抽象函数$f(x)$的极限存在的流程

证明抽象函数(f(x))的极限存在的流程

我们先假设(f^{(1)}(x)=GLarge{(} ormalsize{Clarge{(} ormalsize{f(x)}large{)} ormalsize{，h(x)}}Large{)})，其中(h(x))是与抽象函数(f(x))无关的具体函数，( ormalsize{Clarge{(} ormalsize{f(x)}large{)}})是(f(x))的具体函数。由于(G)函数的映射关系过于复杂，所以一般不能通过微分方程直接解出(f(x))。这个时候我们就要想到函数的单调有界收敛准则进行判断，这也就意味着最终需要得出(Cle f^{(1)}(x)le0)或者(0le f^{(1)}(x)le C)。

1. (h(x))的放缩

   由于(h(x))是与抽象函数(f(x))完全无关的具体函数，所以我们可以用常见的基本不等式解决放缩问题。

   [egin{aligned} (1)、&frac{2}{frac{1}{a}+frac{1}{b}}lesqrt{ab}lefrac{a+b}{2}lesqrt{frac{a^2+b^2}{2}}，调和平均数le几何平均数le算术平均数le平方平均数；\\ (2)、&frac{n}{frac{1}{a_1}+……+frac{1}{a_n}}le{^nsqrt{a_1……a_n}}lefrac{a_1+……+a_n}{n}lesqrtfrac{a_1^2+……+a_n^2}{n}；\\ (3)、&sin xle xle an x，其中xin(0，frac{pi}{2})\\ (4)、&arcsin xle xlearcsin x，其中xin[0，1]\\ (5)、&frac{x}{1+x}ltln (1+x)lt x，其中xgt0\\ (6)、&|a_1pm……pm a_n|le |a_1|+……+|a_n|\\ (7)、&|int_a^b{f(x)dx}|le int_a^b{|f(x)|dx} end{aligned} ]

   上述便是常用的一些基本不等式了。然后加上中值定理证明的不等式，而中值定理证明一般会因为(xi)的范围产生双侧有界，这时我们就解决(h(x))的放缩问题了。

2. ( ormalsize{Clarge{(} ormalsize{f(x)}large{)}})的放缩

   1. ( ormalsize{Clarge{(} ormalsize{f(x)}large{)}})的拆分

      因为(f(x))只是一个单纯的抽象函数，我们并不知道它的定义域和值域(我是说如果题目没有给的话)，所以命题人肯定会给出一个(f(x))的直接外层映射( ormalsize{C_{内}large{(} ormalsize{f(x)}large{)}})，达到控制(f(x))的作用，也就是说对于任意的(f(x))，(C_{内})映射必然至少单侧有界，这样作为(C_{外})的定义域才能使得(C_{外})双侧有界。所以我们将( ormalsize{Clarge{(} ormalsize{f(x)}large{)}})拆分为(C_{外}Large{(} ormalsize{C_{内}large{(} ormalsize{f(x)}large{)}}Large{)})。

   2. 控制函数(C_{内})的映射种类

      1. 有界的反三角函数

         [arcsin、arccos、arctan。定义域：mathbb{R}，值域：(-frac{pi}{2}，frac{pi}{2})； ]

      2. 偶数次幂的幂函数

         [如：x^2，x^frac{1}{2}，cdots ]

      3. 所有指数函数

         [如：e^x，e^{-x}，cdots ]

      4. 有界的三角函数

         [sin、cos。定义域：mathbb{R}，值域：(-1，1)； ]

   3. 控制函数(C_{外})的映射特点

      1. 如果(C_{内})是单侧有界，则(C_{外})必须在定义域内有一条水平渐近线；

         连续函数的有界性：如果开区间上连续函数在端点处有极限，则函数有界。

      2. 如果(C_{内})是双侧有界，则(C_{外})只要不含铅锤渐进性都行；

         连续函数的有界性：如果开区间上连续函数在端点处有极限，则函数有界；或者连续函数在闭区间上有界。

3. 结尾

   假设(h(x))的界是((h_1，h_2))，( ormalsize{Clarge{(} ormalsize{f(x)}large{)}})的界是((C_1，C_2))。由于我们的分开计算的假设，所以这俩函数应该是可分离的，也就是说他们俩是独立平等地位的，那么相应的运算就是俩函数的四则运算。

   1. 如果是加减运算

      则((h_1pm C_1)ge0)或者((h_2pm C_2)le 0)。

   2. 如果是乘除运算

      则除了除数不能等于0之外，((h_1，h_2))和((C_1，C_2))都不能有正有负，即不允许(h_1le0le h_2)或者(C_1le0le C_2)，只能两者的界都在同一侧，但是两者可以异侧。