从整式(f(x))的趋向角度来看主要分为趋于0和趋于(infty)，均有不同的适用方法：
a) 当(f(x) ightarrow0)时，我们在整体上可以利用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”。至于怎样实现化成可以利用的形式，在(x)趋向不同值的时候略有不同，不过最后都能化简成(h(x) ightarrow0)时有(g(x) ightarrow0)。
（1）当(x ightarrow0)时有(f(x) ightarrow0)，这个就直接用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”;
（2）当(x ightarrow C)（(C)为非零常数）时有(f(x) ightarrow0)，那么总能找到一个关于(x)的函数(h(x))，满足当(x ightarrow C)的时候(h(x) ightarrow0)。这里的(h(x))就是“张宇の小狗”。此时将(h(x))视为一个新的变量，将(f(x))化为关于(h(x))的函数(g(h(x)))。令(t=h(x))，这样就变成如下形式了：当(t ightarrow0)时有(f(x)=g(h(x))Rightarrow g(t) ightarrow0);
（3）当(x ightarrowinfty)时有(f(x) ightarrow0)，此时运用倒代换，令(t=frac{1}{x})，即有当(t ightarrow0)时有(f(x)=g(frac{1}{x})Rightarrow g(t) ightarrow0);
b) 当(f(x) ightarrowinfty)时，我想我们就只能用“洛必达法则”了。因为如果一个函数(f(x))在(x ightarrow0)时趋向于(infty)，那么这个函数在(x=0)点处就不可能有定义，既然都没有定义了，谈何“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”？
（1）当(x ightarrow C)（(C)为非零常数）时有(f(x) ightarrowinfty)，那么总能找到一个关于(x)的函数(h(x))，满足当(x ightarrow C)的时候(h(x) ightarrow0)。即转换为(h(x) ightarrow0)时，(g(h(x)) ightarrowinfty);
（2）当(x ightarrowinfty)时有(f(x) ightarrowinfty)，这个时候如果我们想要利用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”，就必须让找到一个“张宇の小狗”，让它趋于0。这是我们就可以找“倒代换”令(t=frac{1}{x})，此时(t ightarrow0)，但令人倍感遗憾的是(f(x)=g(frac{1}{x})Rightarrow g(t) ightarrowinfty)，又回到最初的起点...;
既然这个方法不行那就说明“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”这种方法在(f(x) ightarrowinfty)时是失效的，只能用“洛必达法则”了。
【补充】关于“洛必达法则”
（1）当(f(x) ightarrowinfty)时，即从导数的角度看“洛必达法则”：就是函数值比不出来了，那就比趋向速度，如果一阶趋向速度比不出来就比二阶、三阶...一直到比出来为止;
（2）当(f(x) ightarrow0)时，即从泰勒展开式的角度看“洛必达法则”：就是求上下俩函数的“最低阶系数之比”，上下同时求导就是为了降幂，看谁先降为常数（这里比的就是两者的最低阶），如果分子先则结果为无穷大，反之分母先则为无穷小;
（3）在2中的“最低阶系数之比”在“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”方法中亦称之为“展开至同阶”。需要注意的是：这里的“同阶”并不是严格意义上的同阶，是可以通过乘上无穷小量来制造的，只不过比值可能会为0或者(infty);
（4）由于有2的存在，所以得出结论：“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”方法可以解决的问题均可在理论上通过“洛必达法则”实现。为什么说是理论上呢？因为如果函数复杂的话，求导也是一件相当困难的事，不过赶紧寻找“张宇の小狗”，然后将其换元化成简单函数，这也许是一个不错的选择。不过令人头大的是，“洛必达法则”规定上下同时对(x)求导，即对同一变量求导，这就挡住了“洛必达法则”的光明前程，因为上下的“张宇の小狗”很难是同一只。所以只能说理论上可以，实际上则非常不现实;
(qquad)但是上述的分类显然是有缺陷的，因为它仅仅只是适用于当(f(x))是一个整式，不能包含分式和加减法运算。所以这里需要补充加减法的运算法则：
a) 忽略因阶数问题而小的量;
（1）含有无穷大参与的运算：忽略低阶无穷大、常数以及无穷小量;
（2）没有无穷大参与的运算：如果有常数参与则忽略无穷小量，否则见3;
（3）只有无穷小参与的运算：忽略高阶无穷小量，若是其中有常数参与，只保留常数;
【补充】
（1）这里的常数比一般意义上的常数范围更广，包含3类：函数值在该趋向点处为非零常数的函数、极限在该点趋向时为非零常数的函数以及非零常数;
（2）通常震荡有界函数都会和一个无穷小的量相乘，变成一个无穷小的量，然后被当做高阶无穷小本舍弃。原因就是震荡函数不好求导，这样既不能用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”也不能用“洛必达法则”，故而已经出现就要想方设法将它抛弃;
b) 当为同阶时;
（1）两个无穷大异号时，通过倒代换(t=frac{1}{x})构造分母为(etacdot t^alpha)，分子则为一个关于(t)的无穷小;
（2）两无穷小异号时，遵循“幂次最低异系数”原则。该法则的解释如下：如果(A，B ightarrow0)，则(A-B)应由低阶向高阶同时逐阶展开，如果阶数不同则见a.3，否则直至同阶时的系数不同或者阶数不同。
【补充】无穷小的构造分式
（1）无穷小不一定两个都是无穷小，可能只是相加减的结果为无穷小（不是未定式，而是定式），换句话说就是当函数复杂到“b.2”以及“张宇の小狗”也找不到的时候，即无法利用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”时。比如当两个根式相减时，可以用分子有理化构造出一个分式，这时分母极限不趋于零，分子去掉了最外层的根号，这样就简单了许多;