写在前面
收录了一些比较杂的定理性质啥玩意的
等比数列
对于所有项，均满足 (frac{a_i}{a_{i - 1}} = q)，其中 (q) 是等比
第 (n) 项的值：(a_n = a_1 imes q^{n - 1})
前 (n) 项的和：(sum_{i = 1}^{n}a_i = frac{a_1 imes (1 - q^n)}{1 - q})
如果在模 (m) 的意义下，可以利用费马小定理求出 (1-q) 的逆元来做
素数唯一分解定理
任意一个数 (x) ，均能分解成几个素数的乘积，如果不计顺序，分解方式是唯一的
设每一个素数为 (p_i)，则有
[x = prod_{i = 1}^{k}p_i^{a_i}
]
其中 (k) 表示一共分解为 (k) 个素数，(a_i) 表示第 (i) 个素数出现次数
约数个数定理
对于任意一个数 (x) ，它的约数个数为
[num = prod_{i = 1}^{k}(a_i + 1)
]
证明：
对于每个质因子都有 (a_i + 1) 中选择方式，根据乘法原理将所有质因子的选择方式乘起来即可
约数和定理
对于任意一个数 (n) ，它的所有约数的和为
[S = prod_{i = 1}^{k}(sum_{j = 0}^{a_i}p_j)
]
证明（或者是一种理解方式？）：
我们知道每个质因子都有 (a_i + 1) 中选择方式，考虑构造一个生成函数 (F(n))
那么第 (i) 项为 ((p_i^0 + p_i^1 + ... + p_i^{a_i - 1} + p_i^{a_i}) = sum_{j = 0}^{a_i}p_i^j)
考虑生成函数的形式，
[F(n) = sum_{j = 0}^{a_0}p_0^j imes sum_{j = 0}^{a_1}p_1^j imes ... imes sum_{j = 0}^{a_{k - 1}}p_{k - 1}^j imes sum_{j = 0}^{a_k}p_k^j
]
即可得到上面的约数和定理
如果把 (F(x)) 展开的话，每一项恰好是一个约数，求和恰好是答案
优化：
发现后面的 (sum_{j = 0}^{a_i}p_i^j) 是一个等比数列形式，考虑化简一下，变成
[S = prod_{i = 1}^{k}(frac{p_i^{k+1} - 1}{p_i - 1})
]