【二分答案+倍增】【NOIP2015】运输计划

Description

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。

L 国有 n 个星球，还有 n−1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n−1 条航道连通了 L 国的所有星球。

小 P 掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。

为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。

在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。

如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

Input Format

第一行包括两个正整数 n,m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。

接下来 n−1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai,bi 和 ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。数据保证 1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤1000。

接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj 号星球飞往 vj号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n

Output Format

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

Sample Output

Hint

将第 1 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,12,11，故需要花费的时间为 12。

将第 2 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：7,15,11，故需要花费的时间为 15。

将第 3 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：4,8,11，故需要花费的时间为 11。

将第 4 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,15,5，故需要花费的时间为 15。

将第 5 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,10,6，故需要花费的时间为 11。

故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。

Solution
因为最终所花时间是最长的花费时间所以让最长的花费时间最少考虑用二分答案
首先建边边数=n-1 为一棵树
预处理出每个点的深度、所在的的边、每个点到根结点距离
通过LCA求出询问的两点的路径dis （求LCA可以用倍增）
求dis的操作：左结点到根节点的距离+右结点到根节点的距离-2*左结点与右结点的LCA到根节点的距离
二分一个ans dis>ans的路径为非法路径
标记非法路径时通过sum数组 sum的值表示这个点作为非法路径中的结点的次数
sum[l]++,sum[r]++, sum[lca] -2(通过-2的操作使sum[lca]=0不影响其他路径)
更新sum 通过 sum[x]+=sum[e[edge[x]].to]] edge数组表示x所在的边
相当于x的sum值+x子节点的sum值
由题意知可将一个点设为虫洞即经过此点time为0
故选择一个点作为虫洞后所有非法路径都<ans 则满足这点的点必然被所有非法路径经过
所以二分ans时找到是否存在这样的点作为虫洞不存在则l=mid+1
else ans=mid r=mid-1 即试图找更小的ans

假如红色是一条非法路径 sum 指的是该结点指向其父节点的这条边是否在非法路径里
如果在之后的非法路径中这条边再次出现 sum[l]++,sum[r]++,sum[lca]-=2

因为要记录l到r整条非法路径，所以后面sum的值要加上其子节点的值，故sum[lca]-2，

这样做之后加上子节点sum值的sum[lca]的值为0，

表示其与父节点相连的这条边不在某条非法路径中。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

int n,m,num,maxx,ans;
int dep[300005],dis[300005],sum[300005];
int head[300005],edge[300005],fa[300005][20];

struct e
{
    int to,next,dis;
} e[600005];

struct node
{
    int li,ri,anc,dis; 
} node[300005];

void add(int x,int y,int z)
{
    e[++num].to=y;
    e[num].dis=z;
    e[num].next=head[x];
    head[x]=num;
}

void dfs(int x,int f,int de,int di)
{
    fa[x][0]=f;
    dep[x]=de;
    dis[x]=di;
    for (int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to!=f)
        {
            edge[e[i].to]=i;
            dfs(e[i].to,x,de+1,di+e[i].dis);
        }
    }
}

void get_fa()
{
    for (int j=1; j<=19; j++)
        for (int i=1; i<=n; i++)
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
}

int to_same(int a,int len)
{
    for (int i=0; i<=19; i++)
        if (len&(1<<i)) a=fa[a][i];
    return a;
}

int LCA(int a,int b)
{
    if (dep[a]<dep[b]) std::swap(a,b);
    a=to_same(a,dep[a]-dep[b]);
    if (a==b) return a;
    for (int i=16; i>=0; i--)
    {
        if (fa[a][i]!=fa[b][i])
        {
            a=fa[a][i];
            b=fa[b][i];
        }
    }
    return fa[a][0];
}

void update(int x,int fa)
{
    for (int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to!=fa)
        {
            update(e[i].to,x);
            sum[x]+=sum[e[i].to];
        }
    }
}

bool judge(int x)
{
    int tot=0,dec=0;
    memset(sum,0,sizeof sum);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        if (node[i].dis>x)
        {
            tot++;
            dec=std::max(dec,node[i].dis-x);
            sum[node[i].li]++;
            sum[node[i].ri]++;
            sum[node[i].anc]-=2;
        }
    }
    update(1,1);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (sum[i]==tot&&e[edge[i]].dis>=dec) return true;
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1; i<n; i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dfs(1,1,0,0);
    get_fa();
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&node[i].li,&node[i].ri);
        node[i].anc=LCA(node[i].li,node[i].ri);
        node[i].dis=(dis[node[i].li]+dis[node[i].ri])-2*dis[node[i].anc];
        maxx=std::max(maxx,node[i].dis);
    }
    int l=0,r=maxx;
    while (l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if (judge(mid))
        {
            ans=mid;
            r=mid-1;
        }
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d",ans);
}