差分约束系统

一、算法简介

　　差分约束系统是一种特殊的N元一次不等式组，它包含N个变量，X1~Xn以及m个约束条件，每一个约束条件都是由两个变量作差构成的，形如Xi-Xj≤Ck，其中Ck是常数，1≤i,j≤N，1≤k≤M，解决的问题是求一组解，X1=a1，X2=a2~~~Xn=an,使得所有的约束条件都得到满足。

　　差分约束系统的每一个约束条件Xi-Xj≤Ck可以变形为最短路中的三角不等式，Xi≤Xj+Ck,因此，可以把每一个变量Xi看作有向图中的一个结点i，对于每一个约束条件Xi-Xj≤Ck，为从结点j想结点i连一条长度为Ck的有向边

二、例题

　　UVA1723 Intervals

　　此题是差分约束的裸题，但我之前也不知道差分约束系统是什么。

　　定义：差分约束系统是一种特殊的N元一次不等式，包含N个变量及M个约束条件，每个约束条件由两个变量作差构成，形如Xi-Xj>=Ck，Ck是常数，1<=i,j<=N,1<=k<=M。如

　　X1-X0>=2
　　X2-X1>=3
　　X3-X2>=2
　　X3-X0>=6

　　通过消元可得到X3-X0的最小值为7。假若我们从0->1建一条权值为2的边，从1->2建一条权值为3的边，以此类推。从0到3跑一遍SPFA求最长路，发现也为7。

　　这不是个巧合，因为求最长路时，SPFA的松弛操作后，dis[v]>=dis[u]+g[i].w，与不等式Xi>=Xj+Ck性质一样，所以SPFA可以求出最小值，又因为不等式同大取大，所以要求出最长路。~~所以SPFA死了吗？~~

　　最后，一定要注意输出，每个答案空一行，最后一个答案最后要输出换行。

　　本题就是从0-50000选出最少的数，使每个区间至少有c个数被选，这是求最小值，所以我们待会要将所有的不等式转换成">="的形式我们用数组d[i]表示0-i之间至少要选多少个数，所以对于每一个约束条件，可以看成 $d[b_i]-d[a_i-1]>=c_id[bi]−d[ai−1]>=ci$

$d [b$

　　因此我们在a[i-1]和b[i]之间建一条长度为c[i]的边

　　上述建边过程只是题干中给出的条件，我们还要找出题目中的隐藏条件（隐藏条件视题目而为，有则加）。

　　因为d[i]表示的是0-i之间要选的最小个数，所以d[i]一定要大于d[i-1]；又因为每个数只能选一次，所以d[i]-d[i-1]要么为0，要么为1；

　　由上述两个条件，我们对应出两个不等式 $d_i-d_{i-1}>=0di−di−1>=0d_{i-1}-d_{i}>=-1di−1−di>=−1$

　　所以我们在i-1和i之间连长度为0的有向边，在i和i-1之间连长度为-1的有向边

　　因为i的范围是0-50000所以i-1会变成负数，我们都知道，若数组的下标为负，程序会运行错误，所以我们不妨给所有的变量加1，这样就不会出现负下标了，所以上述加边过程可简述为

　　　　1---->在a[i]和b[i]+1之间连一条长度为c[i]的有向边

　　　　2---->在i和i+1之间连一条长度为0的有向边

　　　　3---->在i+1和i之间连一条长度为-1的有向边

　　接着，设d[0]为1,以0为起点求单元最长路

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int t,n,head[500005],tot,ma,dis[500005];
bool vis[500005];
struct node{
    int u,v,next,w;
}g[5000005];
inline int rea(){//快读
    int s=0,g=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')
            g=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return s*g;
}
inline void add(int u,int v,int w){//建图
    g[++tot].u=u;
    g[tot].v=v;
    g[tot].w=w;
    g[tot].next=head[u];
    head[u]=tot;
}
inline void spfa(){//SPFA求最长路，即可得出最小值
    queue<int>q;
    q.push(0);
    vis[0]=true;
    dis[0]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=g[i].next){
            int v=g[i].v;
            if(dis[v]<dis[u]+g[i].w){
                dis[v]=dis[u]+g[i].w;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    t=rea();
    while(t--){
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
        tot=0;
        n=rea();
        for(int i=1;i<=n;i=-~i){
            int a=rea(),b=rea(),c=rea();
            add(a,b+1,c);//因为前缀和中，Sb-S(a-1)>=c，然而a-1要大于等于0，a有可能是0，所以我们加一
            ma=max(ma,b+1);
        }
        for(int i=1;i<=ma;i=-~i){
            add(i-1,i,0);
            add(i,i-1,-1);//Si-S(i-1)>=0,S(i-1)-Si>=-1
        }
        spfa();
        printf("%d
",dis[ma]);
        if(t)
            printf("
");//注意输出！！！
    }
    return 0;
}