二叉树
二叉树的性质
每个节点最多都有两个子节点的树称为二叉树。其性质与定义有：
- 第(i)层最多有(2^{i-1})个节点
- 满二叉树：若每一层的节点数都是满的（都为(2^{i-1})），则为满二叉树
- 完全二叉树：一棵满二叉树只在最后一层有缺失，则称为完全二叉树
而对于完全二叉树，它的子节点与父结点还有一种性质
-
对于编号为(i)的节点，其父节点为(i/2)
-
如果编号为(i)的节点有子节点，则其左节点编号为(2i)与(2i+1)
PS：编号从1开始
二叉树的储存
一般用指针，和链表同理
struct node{
int value;
node *l,*r;
};
用数组也可以，而且能更为直观的表现完全二叉树中子节点与父节点的关系，但是要注意编号从1开始
二叉树的遍历
先用数组模拟来实现遍历，这里设二叉树为 int num[]={-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
广度优先遍历
void BFS(int start)
{
queue<int> q;
q.push(start);
cout<<num[start]<<" ";
while (!q.empty()){
int t1=q.front()*2,t2=q.front()*2+1;
if (t1<16){
q.push(t1);
cout<<num[t1]<<" ";
}
if (t2<16){
q.push(t2);
cout<<num[t2]<<" ";
}
q.pop();
}
}
深度优先遍历
深度遍历一颗二叉树共有三种方式
- 先序遍历：按父节点->左儿子->右儿子的顺序遍历
- 中序遍历：按左儿子->父节点->右儿子的顺序遍历
- 后序遍历：按左儿子->右儿子->父节点的顺序遍历
【数据结构】理解二叉树的三种遍历--前序、中序、后序 +层序（简明易懂）强烈推荐这一篇，这一篇博客写的非易懂
不难发现三种遍历其实就互相调整了一下顺序，用递归可以很简单的实现
void preorder(int root)
{
if (root>16)
return ;
cout<<num[root]<<' ';
preorder(root*2);
preorder(root*2+1);
}
void inorder(int root)
{
if (root>16)
return ;
inorder(root*2);
cout<<num[root]<<' ';
inorder(root*2+1);
}
void postorder(int root)
{
if (root>16)
return ;
postorder(root*2);
postorder(root*2+1);
cout<<num[root]<<' ';
}
如果是用指针实现的，那么把退出条件改一下，root*2替换为左指针，root*2+1替换为右指针即可
根据遍历结果确定二叉树
确定二叉树的结构，需要至少两种遍历结果
- 先序遍历+中序遍历
- 中序遍历+后序遍历
如果是先序遍历+后序遍历则无法确定一棵二叉树，如图。这时先序遍历+后序遍历的结果相同
先序遍历+中序遍历
从推荐的那篇博客，不难发现中序遍历有一个特点：对于一个节点，在中序遍历的结果中，这个节点的左边的节点在二叉树中都在原节点的左边，右边同理。（因为中序遍历可以看作二叉树的投影）
这里以hdu 1710为例，这道题就是已知先序遍历+中序遍历，求后序遍历
先序遍历：1 2 4 7 3 5 8 9 6
中序遍历：4 7 2 1 8 5 9 3 6
- 先序的第一个数是整个二叉树的根，再看中序，根据上面说的中序遍历特点可以把所有数字分成两块，472和85936，前者在1的右边，后者在1的左边
- 先序的第二个数是前一子树的根，以此类推，4 7又可以放在2的右边
- 递归求解，获得一棵二叉树~
图示过程如上
hdu 1710代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int pre[maxn],in[maxn],pos[maxn],n,pla;
void solve(int l,int r)
{
if (l>r) return ;
pla++;
if (l==r){
printf("%d ",in[l]);
return ;
}
int temp=pla;
for (int i=l;i<=r;i++){
if (pre[temp]==in[i]){
solve(l,i-1);
solve(i+1,r);
break;
}
}
printf("%d",pre[temp]);
if (temp>1)
printf(" ");
}
int main ()
{
while (~scanf("%d",&n)){
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&pre[i]);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&in[i]);
pla=0;
solve(1,n);
cout<<endl;
}
return 0;
}