【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪
题目链接:luogu P1495
题目大意
给你一些条件,要你找最小的 x,使得满足它被一些数取模的答案是要求的数。
且模数相互都是互质的。
思路
我们考虑我们先让每个式子单独找数满足,这个很好找,我们可以找到 (x_1,x_2,...x_n)。
那你考虑搞 (x_1+x_2),看他能不能同时满足两个式子。
那你要想,那你为了不破坏余数,那你 (x_2) 要是 (a_1) 的倍数,(x_1) 要是 (a_2) 的倍数。
那你以此类推,变成所有的加起来,那就是要 (x_1) 是 (a_2,a_3,...,a_n) 的倍数,(x_2) 是 (a_1,a_3,...,a_n) 的倍数,.……。
这个很好找,就先搞出所有 (a) 的最小公倍数,然后除去 (a_i) 就行。
那接着你 (x_i) 还要满足模 (a_i) 是 (b_i),那这一步要怎么处理呢?
那你要求 ( ext{LCM} imes mequiv b_i(mod a_i))
不如先求 ( ext{LCM} imes mequiv 1(mod a_i)),然后再拿结果乘 (b_i)。
然后不难看出 (m) 就是 ( ext{LCM}) 关于 (a_i) 的逆元。
那你就求得了 (x_1,x_2,...,x_n)。
加起来就是一个解了。
但是我们要求最小解,那我们考虑通解。
那模 (a_i) 的余数什么时候回循环一次呢?(完全匹配的那种)
不难想到是 ( ext{lcm}{a_i}) 个循环一次。
那就把答案模 (LCM) 就可以了。
代码
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
ll a[11], b[11], LCM, X;
ll gcd(ll x, ll y) {
if (!y) return x;
return gcd(y, x % y);
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {//exgcd 求逆元
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll re = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= x * (a / b);
return re;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
LCM = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
LCM = LCM * a[i] / gcd(LCM, a[i]);//求积
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ll mi = LCM / a[i];
ll x = 0, y = 0;
exgcd(mi, a[i], x, y);
X += b[i] * mi * ((x % a[i] + a[i]) % a[i]);//注意 x 有可能是负数
}
printf("%lld", X % LCM);
return 0;
}