最短路-Dijikstra

　　一个无负权的图（可能有环）一定有最短路，最长路确不一定（因为有环）。dijikstra用于计算正权图的单源最短路。

　　最短路满足最优子结构性质，所以是一个动态规划问题。最短路的最优子结构可以描述为：D(s, t) = {Vs ... Vi ... Vj ... Vt}表示s到t的最短路，其中i和j是这条路径上的两个中间结点，那么D(i, j)必定是i到j的最短路，这个性质是显然的，可以用反证法证明。

　　基于上面的最优子结构性质，如果存在这样一条最短路D(s, t) = {Vs ... Vi Vt}，其中i和t是最短路上相邻的点，那么D(s, i) = {Vs ... Vi} 必定是s到i的最短路。Dijkstra算法就是基于这样一个性质，通过最短路径长度递增，逐渐生成最短路。

　　具体算法描述如下：对于图G = <V, E>，源点为s，d[i]表示s到i的最短路，visit[i]表示d[i]是否已经确定(布尔值)。

1) 初始化所有顶点 d[i] = INF, visit[i] = false，令d[s] = 0；

2) 从所有visit[i]为false的顶点中找到一个d[i]值最小的，令x = i; 如果找不到，算法结束；

3) 标记visit[x] = true, 更新和x直接相邻的所有顶点y的最短路： d[y] = min{ d[y], d[x] + w(x, y) }

（第三步中如果y和x并不是直接相邻，则令w(x, y) = INF）

priority_queue< pair<int,int> >q;//定义大根堆，进出取相反数，则变成小根堆 
int head[maxn],ver[maxn],nextt[maxn],edge[maxn],tot;
void add(int x,int y,int z){ver[++tot]=y,nextt[tot]=head[x],edge[tot]=z,head[x]=tot;}
void dijikstra()
{
    memset(d,0x3f,sizeof(d));//dist
    memset(v,0,sizeof(v));//标记是否扩展过 
    d[1]=0;
    q.push(make_pair(0,1));
    while(q.size())
    {
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(v[x])continue;
        v[x]=1;
        for(int i=head[x];i;i=nextt[i])
        {
            int y=ver[i];
            int z=edge[i];
            if(d[y]>d[x]+z)//不能没有if语句，就把什么都放进去一遍，没有用
            {
                d[y]=d[x]+z;
                q.push(make_pair(-d[y],y));
            }
        }
    }
}

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例题：最优贸易

描述

C国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。
C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到C国旅游。当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。设C国 n 个城市的标号从 1~n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。
阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。因为阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市y 之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示答案。

样例输入

样例输出

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=1000100;
int n,m,tot,TOT,ans=0;
int p[maxn],head[maxn],ver[maxn],nextt[maxn],pri[maxn],HEAD[maxn],VER[maxn],NEXT[maxn];
int f[maxn],F[maxn];//1-x中最小权值点 x-n最大权值点
bool v[maxn];
priority_queue< pair<int,int> >q;
priority_queue< pair<int,int> >s;
void add(int x,int y){ver[++tot]=y,nextt[tot]=head[x],head[x]=tot;}
void ADD(int X,int Y){VER[++TOT]=Y,NEXT[TOT]=HEAD[X],HEAD[X]=TOT;}
//find the smallest to 1
void dijikstra()
{
    //求最小有负号？？？
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    memset(v,0,sizeof(v));
    f[1]=pri[1];
    q.push(make_pair(-pri[1],1));
    while(q.size())
    {
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(v[x])continue;
        v[x]=1;
        for(int i=head[x];i;i=nextt[i])
        {
            int y=ver[i];
            if(f[y]>f[x])//不能没有if语句，就把什么都放进去一遍，没有用
            {
                f[y]=f[x];
                f[y]=min(f[y],pri[y]);
                q.push(make_pair(-f[y],y));
            }
        }
    }
}
//find the biggest to n
void DIJIKSTRA()
{
    memset(F,-1,sizeof(F));
    memset(v,0,sizeof(v));
    F[n]=pri[n];
    s.push(make_pair(pri[n],n));
    while(s.size())
    {
        int x=s.top().second;s.pop();
        if(v[x])continue;
        v[x]=1;
        for(int i=HEAD[x];i;i=NEXT[i])
        {
            int y=VER[i];
            if(F[y]<F[x])
            {
                F[y]=F[x];
                F[y]=max(F[y],pri[y]);
                s.push(make_pair(F[y],y));
            }
            /*
            F[y]=max(F[x],pri[y]);
            s.push(make_pair(F[y],y));
            */
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&pri[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(z==1)//单向
        {
            add(x,y);
            ADD(y,x);
        }
        else //双向
        {
            add(x,y);
            add(y,x);
            ADD(x,y);
            ADD(y,x);
        }
    }
    dijikstra();
    DIJIKSTRA();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,F[i]-f[i]);
    }
    /*for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);
    cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",F[i]);*/
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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