BZOJ [ZJOI2007]仓库建设

题目描述

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
工厂i目前已有成品数量Pi;
在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

输出格式：

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。

如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57，总费用67，不如前者优。

对于20%的数据， N ≤500；

对于40%的数据， N ≤10000；

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

这道题是一道斜率优化的题目对我这种第一次写斜率优化的蒟蒻还是很有帮助的

$dp$方程还是比较好想的 $dp[i]$表示在第$i$个位置建设仓库带来的最小花费

那么$dp[i] = dp[j] + xi *sum_{k=j+1}^{i}pi - sum_{k = j + 1}^{i}xi * pi + c[i]$

这个东西可以使用前缀和维护 $sum$表示$x * p$的前缀和 $sump$ 表示$p$的前缀和

变一下$dp[i] = dp[j] + xi * (sump[i] - sump[j]) + sum[i] - sum[j] + c[i]$

若决策$j$优于决策$k$ 那么

$dp[j] + xi * (sump[i] - sump[j]) + sum[i] - sum[j] + c[i] < dp[k] + xi * (sump[i] - sump[k]) + sum[i] - sum[k] + c[i]$

化简得$((dp[j) - sum[j]) - (dp[k] - sum[k])) / (sump[k] + sump[j]) < xi$

然后这个东西就可以使用斜率优化了

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 5;
ll dp[N], sum[N], sump[N];
ll n, x[N], p[N], c[N], Q[N];

ll Y(int pos) { return dp[pos] + sum[pos];}

ll X(int pos) {return sump[pos];}

double slope(int pos1, int pos2) {
    return 1.0 * (Y(pos1) - Y(pos2)) / (X(pos1) - X(pos2));
}

void init( ) {
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        scanf("%lld%lld%lld",& x[i], & p[i], & c[i]);
        sump[i] = sump[i - 1] + p[i];
        sum[i] = sum[i - 1] + x[i] * p[i];
    }
}

void Solve( ) {
    
    int h = 0, t = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        while(h < t && slope(Q[h + 1], Q[h]) < x[i]) h ++;
        int j = Q[h]; dp[i] = dp[j] + x[i] * (sump[i] - sump[j]) - sum[i] + sum[j] + c[i];
        while(h < t && slope(Q[t], Q[t - 1]) > slope(i, Q[t])) t --; Q[++ t] = i; 
    }
    printf("%lld
", dp[n]);
}

int main( ) {
    
    scanf("%lld",& n);
    init( );
    Solve( );
}