「物不知数」问题
有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?
即求满足以下条件的整数:除以 (3) 余 (2) ,除以 (5) 余 (3) ,除以 (7) 余 (2) 。
该问题最早见于《孙子算经》中,并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出:
三人同行七十希,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知。
(2 imes 70+3 imes 21+2 imes 15=233=2 imes 105+23) ,故答案为 (23) 。
算法简介及过程
中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组(其中 (n_1, n_2, cdots, n_k) 两两互质):
上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。
算法流程
- 计算所有模数的积 (n) ;
- 对于第 (i) 个方程:
- 计算 (m_i=frac{n}{n_i}) ;
- 计算 (m_i) 在模 (n_i) 意义下的
逆元
(m_i^{-1}) ; - 计算 (c_i=m_im_i^{-1}) ( 不要对 (n_i) 取模 )。
- 方程组的唯一解为: (a=sum_{i=1}^k a_ic_i pmod n) 。
伪代码
1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
n * n[i] → n
for i = 1 to k
n / n[i] → m
inv(m, n[i]) → b // b * m mod n[i] = 1
(ans + a[i] * m * b) mod n → ans
return ans
算法的证明
我们需要证明上面算法计算所得的 (a) 对于任意 (i=1,2,cdots,k) 满足 (aequiv a_i pmod {n_i}) 。
当 (i eq j) 时,有 (m_jequiv 0 pmod {n_i}) ,故 (c_jequiv m_jequiv 0 pmod {n_i}) 。又有 (c_iequiv m_i(m_i^{-1}mod {n_i})equiv 1 pmod {n_i}) ,所以我们有:
即对于任意 (i=1,2,cdots,k) ,上面算法得到的 (a) 总是满足 (aequiv a_i pmod{n_i}) ,即证明了解同余方程组的算法的正确性。
因为我们没有对输入的 (a_i) 作特殊限制,所以任何一组输入 ({a_i}) 都对应一个解 (a) 。
另外,若 (x eq y) ,则总存在 (i) 使得 (x) 和 (y) 在模 (n_i) 下不同余。
故系数列表 ({a_i}) 与解 (a) 之间是一一映射关系,方程组总是有唯一解。
例
下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。
- (n=3 imes 5 imes 7=105) ;
- 三人同行 七十 希: (n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}equiv 2pmod 3) ,故 (c_1=35 imes 2=70) ;
- 五树梅花 廿一 支: (n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}equiv 1pmod 5) ,故 (c_2=21 imes 1=21) ;
- 七子团圆正 半月 : (n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}equiv 1pmod 7) ,故 (c_3=15 imes 1=15) ;
- 所以方程组的唯一解为 (aequiv 2 imes 70+3 imes 21+2 imes 15equiv 233equiv 23 pmod {105}) 。(除 百零五 便得知)
应用
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因,给出的模数: 不是质数 !
但是对其质因数分解会发现它没有平方因子,也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。
那么我们可以分别对这些模数进行计算,最后用 CRT 合并答案。
推荐练习:BZOJ 1951
比较两 CRT 下整数
考虑 CRT, 不妨假设 (n_1leq n_2 leq ... leq n_k)
与 PMR(Primorial Mixed Radix) 表示
(x=b_1+b_2n_1+b_3n_1n_2...+b_kn_1n_2...n_{k-1} ,b_iin [0,n_i))
将数字转化到 PMR 下,逐位比较即可
转化方法考虑依次对 PMR 取模
其中 (c_{i,j}) 表示 (n_i) 对 (n_j) 的逆元, (c_{i,j}n_i equiv 1 pmod {n_j})
扩展:模数不互质的情况
两个方程
设两个方程分别是 (xequiv a_1 pmod {m_1}) 、 (xequiv a_2 pmod {m_2}) ;
将它们转化为不定方程: (x=m_1p+a_1=m_2q+a_2) ,其中 (p, q) 是整数,则有 (m_1p-m_2q=a_2-a_1) 。
由裴蜀定理,当 (a_2-a_1) 不能被 (gcd(m_1,m_2)) 整除时,无解;
其他情况下,可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 ((p, q)) ;
则原来的两方程组成的模方程组的解为 (xequiv bpmod M) ,其中 (b=m_1p+a_1) , (M= ext{lcm}(m_1, m_2)) 。
多个方程
用上面的方法两两合并就可以了……
推荐练习:POJ 2891