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树与图的存储
树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。
(1) 邻接矩阵：$g[a][b] $存储边a->b
(2) 邻接表：
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);
树与图的遍历
时间复杂度 \(O(n+m)\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
(1) 深度优先遍历 —— 模板题 AcWing 846. 树的重心
int dfs(int u)
{
st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}
(2) 宽度优先遍历
queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
q.push(j);
}
}
}
拓扑排序
时间复杂度\(O(n+m), n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}
朴素dijkstra算法 —— 模板题 AcWing 849. Dijkstra求最短路 I
朴素版dijkstra适合稠密图
集合S为已经确定最短路径的点集。
1. 初始化距离
一号结点的距离为零，其他结点的距离设为无穷大（看具体的题）。
2. 循环n次，每一次将集合S之外距离最短X的点加入到S中去（这里的距离最短指的是距离1号点最近。点X的路径一定最短，基于贪心，严格证明待看）。然后用点X更新X邻接点的距离。
时间复杂度分析
寻找路径最短的点：O(n^2)
加入集合S：O(n)
更新距离：O(m)
时间复杂是 \(O(n^2+m), n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
稠密图用邻接矩阵存。
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
堆优化版dijkstra —— 模板题 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
时间复杂度 \(O(mlogn), n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
堆优化版的dijkstra是对朴素版dijkstra进行了优化，在朴素版dijkstra中时间复杂度最高的寻找距离最短的点O(n^2)可以使用最小堆优化。
1. 一号点的距离初始化为零，其他点初始化成无穷大。
2. 将一号点放入堆中。
3. 不断循环，直到堆空。每一次循环中执行的操作为：
弹出堆顶（与朴素版diijkstra找到S外距离最短的点相同，并标记该点的最短路径已经确定）。
用该点更新临界点的距离，若更新成功就加入到堆中。
时间复杂度分析
\(寻找路径最短的点：O(n)\)
\(加入集合S：O(n)\)
\(更新距离：O(mlogn)\)
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 150010;
// 稀疏图用邻接表来存
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int w[N]; // 用来存权重
int dist[N];
bool st[N]; // 如果为true说明这个点的最短路径已经确定
int n, m;
void add(int x, int y, int c)
{
w[idx] = c; // 有重边也不要紧，假设1->2有权重为2和3的边，再遍历到点1的时候2号点的距离会更新两次放入堆中
e[idx] = y; // 这样堆中会有很多冗余的点，但是在弹出的时候还是会弹出最小值2+x（x为之前确定的最短路径），并
ne[idx] = h[x]; // 标记st为true，所以下一次弹出3+x会continue不会向下执行。
h[x] = idx++;
}
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
dist[0] = 1;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; // 定义一个小根堆
// 这里heap中为什么要存pair呢，首先小根堆是根据距离来排的，所以有一个变量要是距离，其次在从堆中拿出来的时
// 候要知道知道这个点是哪个点，不然怎么更新邻接点呢？所以第二个变量要存点。
heap.push({ 0, 1 }); // 这个顺序不能倒，pair排序时是先根据first，再根据second，这里显然要根据距离排序
while(heap.size())
{
PII k = heap.top(); // 取不在集合S中距离最短的点
heap.pop();
int ver = k.second, distance = k.first;
if(st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i]; // i只是个下标，e中在存的是i这个下标对应的点。
if(dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({ dist[j], j });
}
}
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
else return dist[n];
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof(h));
scanf("%d%d", &n, &m);
while (m--)
{
int x, y, c;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &c);
add(x, y, c);
}
cout << dijkstra() << endl;
return 0;
}
Bellman-Ford算法
时间复杂度 \(O(nm), n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
1)初始化所有点到源点的距离为∞,把源点到自己的距离设置为0；
2)不管3721遍历n次;每次遍历m条边，用每一条边去更新各点到源点的距离。
值得注意的是
- 需要把dist数组进行一个备份，这样防止每次更新的时候出现串联；
- 由于存在负权边，因此return -1的条件就要改成dist[n]>0x3f3f3f3f/2;
- 上面所谓的n次遍历的实际含义是当前的最短路径最多有n-1条边，这也就解释了为啥要i遍历到n的时候退出循环了，因为只有n个点,最短路径无环最多就存在n-1条边。
- 这里无需对重边和自环做单独的处理：
1] 重边：由于遍历了所有的边，总会遍历到较短的那一条; 2] 自环: 有自环就有自环啊，反正又不会死循环;- 令人愉悦的是，该算法无非就是循环n次然后遍历所有的边，因此不需要做什么特别的存储，只要把所有的边的信息存下来能够遍历就行;
6）bellman_ford算法可以存在负权回路，因为它求得的最短路是有限制的，是限制了边数的，这样不会永久的走下去，会得到一个解；
7)SPFA算法各方面优于该算法，但是在碰到限制了最短路径上边的长度时就只能用bellman_ford了，此时直接把n重循环改成k次循环即可
int n, m; // n表示点数，m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}
spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法） —— 模板题 AcWing 851. spfa求最短路
时间复杂度 平均情况下 \(O(m)，最坏情况下 O(nm), n\) 表示点数，m 表示边数
Bellman_ford算法会遍历所有的边，但是有很多的边遍历了其实没有什么意义，我们只用遍历那些到源点距离变小的点所连接的边即可，只有当一个点的前驱结点更新了，该节点才会得到更新；因此考虑到这一点，我们将创建一个队列每一次加入距离被更新的结点。
值得注意的是
- st数组的作用：判断当前的点是否已经加入到队列当中了；已经加入队列的结点就不需要反复的把该点加入到队列中了，就算此次还是会更新到源点的距离，那只用更新一下数值而不用加入到队列当中。
即便不使用st数组最终也没有什么关系，但是使用的好处在于可以提升效率。- SPFA算法看上去和Dijstra算法长得有一些像但是其中的意义还是相差甚远的:
1] Dijkstra算法中的st数组保存的是当前确定了到源点距离最小的点，且一旦确定了最小那么就不可逆了(不可标记为true后改变为false)；SPFA算法中的st数组仅仅只是表示的当前发生过更新的点，且spfa中的st数组可逆(可以在标记为true之后又标记为false)。顺带一提的是BFS中的st数组记录的是当前已经被遍历过的点。
2] Dijkstra算法里使用的是优先队列保存的是当前未确定最小距离的点，目的是快速的取出当前到源点距离最小的点；SPFA算法中使用的是队列(你也可以使用别的数据结构),目的只是记录一下当前发生过更新的点。
⭐️Bellman_ford算法里最后return-1的判断条件写的是dist[n]>0x3f3f3f3f/2;而spfa算法写的是dist[n]==0x3f3f3f3f;其原因在于Bellman_ford算法会遍历所有的边，因此不管是不是和源点连通的边它都会得到更新；但是SPFA算法不一样，它相当于采用了BFS，因此遍历到的结点都是与源点连通的，因此如果你要求的n和源点不连通，它不会得到更新，还是保持的0x3f3f3f3f。
⭐️ Bellman_ford算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的因此最终不会发生死循环；但是SPFA算法不可以，由于用了队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队，因此假如有负权回路请你不要用SPFA否则会死循环。
⭐️由于SPFA算法是由Bellman_ford算法优化而来，在最坏的情况下时间复杂度和它一样即时间复杂度为 O(nm)O(nm) ，假如题目时间允许可以直接用SPFA算法去解Dijkstra算法的题目。(好像SPFA有点小小万能的感觉?)
⭐️求负环一般使用SPFA算法，方法是用一个cnt数组记录每个点到源点的边数，一个点被更新一次就+1，一旦有点的边数达到了n那就证明存在了负环。
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
spfa判断图中是否存在负环
时间复杂度是\(O(nm), n\) 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
floyd算法
时间复杂度是 \(O(n3), n\) 表示点数
初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
朴素版prim算法
时间复杂度是 \(O(n^2+m), n\) 表示点数，m 表示边数
int n; // n表示点数
int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中
// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
if (i) res += dist[t];
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
Kruskal算法
时间复杂度是\(O(mlogm), n\) 表示点数，\(m\) 表示边数
int n, m; // n是点数，m是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组
struct Edge // 存储边
{
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int find(int x) // 并查集核心操作
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
染色法判别二分图
时间复杂度是 \(O(n+m), n\) 表示点数，m 表示边数
int n; // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储图
int color[N]; // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色
// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
color[u] = c;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (color[j] == -1)
{
if (!dfs(j, !c)) return false;
}
else if (color[j] == c) return false;
}
return true;
}
bool check()
{
memset(color, -1, sizeof color);
bool flag = true;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (color[i] == -1)
if (!dfs(i, 0))
{
flag = false;
break;
}
return flag;
}
匈牙利算法
时间复杂度是\(O(nm), n\) 表示点数，m 表示边数
int n1, n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N]; // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过
bool find(int x)
{
for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true;
if (match[j] == 0 || find(match[j]))
{
match[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
memset(st, false, sizeof st);
if (find(i)) res ++ ;
}