[模板]树状数组

基础

设lowbit(x)表示的是把x的二进制只留下最低一位的1，然后lowbit(x)=x&(-x) （我也不知道为什么）

设c[x]表示从i往前一共lowbit(x)个数的和，那么x-lowbit(x)就是c[x]表示的范围的前一个数。

然后可以得到c[x]=c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2+lowbit(x)>>3]....+c[x-1]+a[x]。

也就是说，如果将这个关系做成一个树，x的父亲就是x+lowbit(x)（观察一下上面的式子，很容易发现每一项都满足）

要询问1到x的和的话，只要一直加c[x]，然后让x-=lowbit(x)直到x=0就好了

然后要修改一个点x的话，就一直往上修改它的父亲直到x>n就可以了。

也就是说，最基本的树状数组支持的是单点修改和前缀和查询，然后前缀和可以很容易地做成区间和（端点减一减）。

luogu3374

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
 5 #define LL long long int
 6 const int maxn=500050;
 7 
 8 inline int rd(){
 9     int x=0;char c=getchar();int neg=1;
10     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
11     while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
12     return x*neg;
13 }
14 
15 int N,M;
16 LL c[maxn];
17 
18 inline void add(int x,int y){
19     while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);
20 }
21 inline LL query(int x){
22     LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;
23 }
24 
25 int main(){
26     int i,j,k;
27     N=rd(),M=rd();
28     for(i=1;i<=N;i++) add(i,rd());
29     for(i=1;i<=M;i++){
30         int a=rd(),b=rd(),c=rd();
31         if(a==1) add(b,c);
32         else printf("%lld
",query(c)-query(b-1));
33     }
34 }

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也可以支持区间修改和单点查询，只要做一个差分，区间修改就变成了两个端点的修改，单点查询就变成了前缀和查询。

luogu3368

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
 5 #define LL long long int
 6 const int maxn=500050;
 7 
 8 inline int rd(){
 9     int x=0;char c=getchar();int neg=1;
10     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
11     while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
12     return x*neg;
13 }
14 
15 int N,M;
16 LL c[maxn];
17 
18 inline void add(int x,int y){
19     while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);
20 }
21 inline LL query(int x){
22     LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;
23 }
24 
25 int main(){
26     int i,j,k;
27     N=rd(),M=rd();
28     for(i=1,j=0;i<=N;i++){
29         k=rd();add(i,k-j);j=k;
30     };
31     for(i=1;i<=M;i++){
32         int a=rd(),b=rd();
33         if(a==1){
34             int c=rd(),d=rd();
35             add(b,d);add(c+1,-d);
36         }
37         else printf("%lld
",query(b));
38     }
39 }

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升级

区间修改和区间查询也是可以支持的，然后我选择线段树......

树状数组写起来真方便，suki

$$前n项和sum_{i=1}^{n}{a[i]}=sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{i}{d[j]}}（差分数组）=sum_{i=1}^{n}{(n-i+1)d[i]}=(n+1)sum_{i=1}^{n}{d[i]}-sum_{i=1}^{n}{i*d[i]}$$

这样的话，只要同时维护d[i]和i*d[i]，就可以做到区间修改和区间查询了。

luogu3372

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<vector>
 5 #include<queue>
 6 #include<map>
 7 #include<cmath>
 8 #include<ctime>
 9 #include<set>
10 #define pa pair<int,int>
11 #define lowb(x) ((x)&(-(x)))
12 #define REP(i,n0,n) for(i=n0;i<=n;i++)
13 #define PER(i,n0,n) for(i=n;i>=n0;i--)
14 #define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)
15 #define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)
16 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
17 #define rei register int
18 using namespace std;
19 typedef long long ll;
20 const int maxn=100010;
21 
22 ll rd(){
23     ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
24     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
25     while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
26     return x*neg;
27 }
28 
29 int N,M;
30 ll tr[maxn],itr[maxn];
31 
32 inline void add(int x,ll y){
33     ll yy=y*x;
34     while(x<=N){
35         tr[x]+=y;itr[x]+=yy;x+=lowb(x);
36     }
37 }
38 inline ll query(int x){
39     ll re=0,n=x;
40     while(x){
41         re+=(n+1)*tr[x]-itr[x];x-=lowb(x);
42     }return re;
43 }
44 
45 int main(){
46     rei i,j,k;
47     N=rd(),M=rd();ll lst=0;
48     for(i=1;i<=N;i++){
49         ll x=rd();add(i,x-lst);lst=x;
50     }for(i=1;i<=M;i++){
51         int a=rd(),b=rd(),c=rd();
52         if(a==1){
53             ll k=rd();add(b,k);add(c+1,-k);
54         }else{
55             printf("%lld
",query(c)-query(b-1));
56         }
57     }
58     return 0;
59 }

View Code

二维的话也是可以做的，就相当于每跳到一个x都跳一遍y的lowbit，而且可以支持区间修改和区间查询

单点修改区间查询不多说，来说说区间修改和查询

仿照一维的形式，我们先得到差分数组

因为差分数组的前缀和就是原来那个点的值，所以能得到$d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$

所以如果是(x1,y1,x2,y2)区间加的话，就是给(x1,y1),(x2+1,y2+1)加，给(x1,y2+1),(x2+1,y1)减（手画一下）

然后是查询，也是有$(x1,y1,x2,y2)=S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]+S[x1-1][y1-1]$

然后有

$$S[x][y]=sumlimits_{i=1}^{x}{sumlimits_{j=1}^{y}{sumlimits_{k=1}^{i}{sumlimits_{l=1}^{j}{d[k][l]}}}}$$

$$=sumlimits_{i=1}^{x}{sumlimits_{k=1}^{i}{sumlimits_{j=1}^{y}{((y+1)d[k][j]-j*d[k][j])}}}$$

$$=sumlimits_{i=1}^{x}{sumlimits_{j=1}^{y}{(x+1)(y+1)d[i][j]-(x+1)*j*d[i][j]-(y+1)*i*d[i][j]+i*j*d[i][j]}}$$

于是二维树状数组维护d,id,jd和ijd就行了

高级用法以后慢慢填