[NOIP2003普及组]麦森数（快速幂+高精度）

Description

形如2^P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000 < P < 3100000），计算2^P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

Input

只包含一个整数P（1000 < P < 3100000）

Output

第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2^P-1与P是否为素数。

Sample Input

1

1279

Sample Output

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

386

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000104079321946643990819252403273640855

38615262247266704805319112350403608059673360298012

23944173232418484242161395428100779138356624832346

49081399066056773207629241295093892203457731833496

61583550472959420547689811211693677147548478866962

50138443826029173234888531116082853841658502825560

46662248318909188018470682222031405210266984354887

32958028878050869736186900714720710555703168729087

题目大意：计算2^P-1的位数和它的最后500位并输出。
1、计算位数：2^P-1的位数为[log10(2^P)]+1==[Plog10(2)]+1
2、计算最后500位：高精度预处理2^i，计算时将P分解成二进制形式，然后相乘，只保留500位
3、网站上的似乎和原题不太一样，原题要求每输出50位换行

倍增快速幂+高精（果然什么东西跟高精扯上就恶心了）

只保留最后500位，前面的直接卡掉

位数可以直接算出来，n进制数M的位数是log(n)M，那么log(10)2^p=p*log(10)2=p*(log(2)/log(10))

1、肯定需要高精度，毕竟500位

2、普通乘法肯定超时,乘法次数*位数

因为位数=plog(10)2=310W*log2

操作次数为=310W

所以普通乘法的复杂度为：n^2，这肯定要炸的不能在炸。

如果是保留500位，那也是500*310W，也要超，所以这里一定要用到快速幂

本题分两问，第一问求位数，可以证明：当x有n位时，必有10^(n-1)<=x<10^n（如x有3位时必有100=10^2<=x<1000=10^3），取常用对数，n-1<=lgx<n，即lgx的整数部分是n-1，也就是说数x的位数是lg(x)的整数部分+1。故欲求x的位数只需求floor(log10(x)+1).

然后第二问是去掉了取模运算、用上高精度的快速幂：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std; 
 3 void mul(int x[],int y[]);
 4 int main()
 5 {
 6     long p;
 7     int num=0;
 8     int ans[501]={0},a[501]={0},i;
 9     freopen("mason.in","r",stdin); 
10     freopen("mason.out","w",stdout);
11     scanf("%ld",&p);
12     //第一问ok 
13     num=(int)floor(p*log10(2)+1);
14     printf("%d
",num);
15     
16     /*快速幂求2^p,同时用高精度乘法*/
17     ans[1]=1; a[1]=2;
18     while(p>0)
19     {
20         if(p&1)      //if(p%2==1)
21             mul(ans,a);
22         p=p>>1;      //p=p/2;
23         mul(a,a);    //a*a -> a
24     }
25     ans[1]-=1;     //这个地方其实直接减1会有bug。当ans[1]为0的时候是错误的结果。所以可以采用下面的方法减1。但是对这个题目而言，2^p-1必然是奇数，也即个位是不可能为0。(ans[1]不会为0.) 
26     /*for(i=1;i<=500;i++)
27     {
28         if(ans[i]>0) {ans[i]--;break;}
29     }
30     for(;i>=1;i--) ans[i]=9;*/
31     for(i=500;i>0;i--) {printf("%d",ans[i]); if((i-1)%50==0) printf("
");}
32     printf("
");
33     return 0;
34 }
35 void mul(int x[],int y[])
36 {
37     /*   x*y->x   */
38     int tmp[520]={0},lx=500,ly=500,i,j,len;  //tem[]一定要清零。
39     //memset(tmp,0,sizeof(tmp));
40     while(x[lx]==0&&lx>0) lx--; //计算x首位位置
41     while(y[ly]==0&&ly>0) ly--; //计算y首位位置
42     len=lx+ly;
43     for(i=1;i<=ly;i++)
44        for(j=1;j<=lx;j++)
45            if(i+j-1<=500) tmp[i+j-1]+=y[i]*x[j];   //if语句是保证只保留500位 
46     for(i=1;i<=500;i++) 
47     {
48         tmp[i+1]+=tmp[i]/10; //把进位的值加到高位 
49         tmp[i]%=10;
50         /*if(i<500&&tmp[i+1]==0)
51         {len=i; break;}*/  //这个地方没理解其用意，似乎只是优化循环次数。但len没有使用的机会，所以干脆删除掉比较好。
52     }  
53     for(i=500;i>0;i--) x[i]=tmp[i];  //把结果复制到x数组 
54 }