P1831 杠杆数

题目描述

如果把一个数的某一位当成支点，且左边的数字到这个点的力矩和等于右边的数字到这个点的力矩和，那么这个数就可以被叫成杠杆数。

比如4139就是杠杆数，把3当成支点，我们有这样的等式：4 2 + 1 1 = 9 * 1。

给定区间[x,y]，求出在[x,y]中有几个杠杆数。

输入输出格式

输入格式：

两个数，表示x,y。

输出格式：

一个输出，表示区间[x,y]中杠杆数的个数。

输入输出样例

输入样例#1：复制

7604 24324

输出样例#1：复制

说明

对于40%的数据，x<=y<=x+100000

对于100%的数据，1<=x<=y<=10^18

洛谷题解：

此题是数位DP，没学过数位DP的，这可以是一道很经典的入门题目

1. 本题是一道数位DP，首先我们可以只考虑设计算法求[1,x]这个区间内符合条件的数的个数即可。因为[x,y]这个区间内的个数实际上是[1,y]区间内的个数减去[1,x-1]区间内的个数。（注意要把0特殊出来考虑）

2.之后我们可以枚举支点的位置，对于每个满足条件的数，它所对应的支点是唯一的，原因是如果将支点右移，左边减去右边的差将严格单调增加。state表示力矩和（支点左边加支点右边），所以当state<0时，当前这个数不满足以i为支点成为杠杆数的情况，返回0。但当state==0时并不能就ans++了，因为当前枚举的位置可能还没枚举完。

3.枚举好支点，问题就转化为：求[1,x]中，以第i位为支点的杠杆数的个数。

==》我们就可以用数位DP解决此问题。

注意：注意当力矩为负时，就要返回，否则会出现下标为负。

（数位DP可以从后往前推，也可以用记忆化搜索。我比较喜欢记忆化搜索，比较有套路。）

枚举的时候是通过数字减位来实现的

枚举的时候是枚举每个数字的每一个支点

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #define LL long long
 6 using namespace std;
 7 const int N=20;
 8 int a[N];//储存每一位的大小 
 9 LL dp[N][N][2500],l,r;//dp[i][j][k]表示考虑i位数字，支点为j，力矩和为k 
10 LL dfs(int pos,int point,int state,bool limit)//pos是几位数字；ponit是支点；state是力矩；limit表示当前这一位有无大小限制，防止枚举超过上限 
11 {
12     if(pos==0)return state==0;//判断是否合法 
13     if(state<0)return 0;//当前力矩为负
14     if(!limit&&dp[pos][point][state]!=-1)return dp[pos][point][state];
15     int up=limit?a[pos]:9;//数位上限 
16     LL tmp=0;
17     for(int i=0;i<=up;i++)tmp+=dfs(pos-1,point,state+i*(pos-point),limit&&(i==up));
18     if(!limit)dp[pos][point][state]=tmp;
19     return tmp;
20 }
21 LL solve(LL x)
22 {
23     int len=0;
24     while(x)
25     {
26         a[++len]=x%10;
27         x/=10;
28     }
29     LL ans=0;
30     for(int i=1;i<=len;i++)ans+=dfs(len,i,0,1);
31     return ans-len+1;//每次dfs都会重复搜索到00000……的情况这里减去重复数 
32 }
33 int main()
34 {
35     scanf("%lld %lld",&l,&r);
36     memset(dp,-1,sizeof(dp));
37     printf("%lld",solve(r)-solve(l-1));
38     return 0;
39 }

本题是一道数位统计题，首先我们可以只考虑设计算法求[1,x]这个区间内符合条件的数的个数即可。因为[x,y]这个区间内的个数实际上是[1,y]区间内的个数减去[1,x-1]区间内的个数。（注意要把0特殊出来考虑）

之后我们可以枚举支点的位置，对于每个满足条件的数，它所对应的支点是唯一的，原因是如果将支点右移，左边减去右边的差将严格单调增加。

枚举好支点，问题就转化为：求[1,x]中，以第k位为杠杆的杠杆数的个数。

我们就可以用DP解决此问题。用f[i][j][k]表示考虑到第i位，左边权值减右边权值差为j的情况个数。

k=0或k=1，分别表示枚举到当前位数时，数比x小或等于x。分情况讨论累加。

DP可以从后往前推，也可以用记忆化搜索。