P1073 最优贸易

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城

市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3

号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格

买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，

表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市

y 之间的双向道路。

输出格式：

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出 0。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

NOIP 2009 提高组第三题

二、分析

第一步：正向spfa，找到每个从起点到i号城市能买到的物品的最低价c[i]
第二步：反向BFS，找到能卖东西的城市
第三步：用每个城市的卖出价减从起点到这个城市买东西的最低价就是获利，遍历所有城市，取最大获利

显然这道题目你只要找到任何路径上的最大值，最小值就好了；
那么对于点k
我们要知道1~k里面的最小值卖入；
还要知道k~里面的最大值卖出；
那么我们可以用spfa去求；
第一遍跑出min数组后去反向图跑max数组；
这样就好了；
这道题目用缩点进行dp也可以；

首先能够买进卖出的地点一定与起点和终点连通
我们可以从起点正向SPFA找出在可以走到的范围内能够买进的最小代价，然后从终点反向BFS找出哪些点能够走到终点，最后的答案是：

max(本地代价[i]-买进最小代价[i])（i能够走到终点）

  1 /*
  2 第一步：正向spfa，找到每个从起点到i号城市能买到的物品的最低价c[i] 
  3 第二步：反向BFS，找到能卖东西的城市 
  4 第三步：用每个城市的卖出价减从起点到这个城市买东西的最低价就是获利，遍历所有城市，取最大获利 
  5 */ 
  6 #include<bits/stdc++.h>
  7 using namespace std;
  8 const int oo=1e9;
  9 int q[1000001]={0},c[100001];
 10 bool vis[100001]={0},visf[100001]={0};
 11 int n,m,a[100001];
 12 int nedge=0,p[1000001],nex[1000001],head[100001];
 13 int nedgef=0,pf[1000001],nexf[1000001],headf[100001];
 14 
 15 //添加边  用于正向SPFA 
 16 //nex数组和head数组时用数组模拟链表
 17 //next[i]表示i下一个点的编号，head[i]表示i节点的所有能够到达的点
 18 //p[i]=b表示第i条边的终点是b点 
 19 inline void addedge(int a,int b){
 20     p[++nedge]=b;nex[nedge]=head[a];
 21     head[a]=nedge;
 22 }
 23 
 24 //添加边   用于反向BFS 
 25 //nexf数组和headf数组时用数组模拟链表
 26 //nexf[i]表示i下一个点的编号，headf[i]表示i节点的所有能够到达的点
 27 //pf[i]=b表示第i条边的终点是b点 
 28 inline void addedgef(int a,int b){
 29     pf[++nedgef]=b;nexf[nedgef]=headf[a];
 30     headf[a]=nedgef;
 31 }
 32 //第一步：正向spfa，找到每个从起点到i号城市能买到的物品的最低价c[i] 
 33 void spfa(){
 34     for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=oo;
 35     //1号点被置为初始点，被置为访问过，并将它入队 
 36     vis[1]=1;q[1]=1;
 37     //队列的头尾指针都是1 
 38     int l=1,r=1;
 39     //如果尾小于等于头，也就是队列非空 
 40     while(l<=r){
 41         //把队头元素的值给now，并且对头指针加1 
 42         int now=q[l++];
 43         //遍历所有与now节点相连的元素 ，k表示now节点现在指的边 
 44         for(int k=head[now];k;k=nex[k]){
 45             //在 c[p[k]]和 c[now]和 a[now]取最小值给 c[p[k]]（a[now]表示now号城市的商品价格） 
 46             //c数组是用来取商品价格最小值的 ，并且尾部的价格最低 
 47             int t=min(c[p[k]],min(c[now],a[now]));
 48             if(c[p[k]]>t){
 49                 c[p[k]]=t;
 50                 //p[k]表示k点到达的终点，如果k的终点没有被访问 
 51                 if(!vis[p[k]]){
 52                     //把它入队，并且置为访问过 
 53                     q[++r]=p[k];
 54                     vis[p[k]]=1;
 55                 }
 56             }   
 57         }
 58         //把now节点的访问标志置为0，方便now节点再次入队 
 59         vis[now]=0;
 60     }
 61 }
 62 //第二步：反向BFS，找到能卖东西的城市 
 63 void bfs(){
 64     //将q队列清0 
 65     memset(q,0,sizeof q);
 66     //将队列头尾指针都指向1，并且将n号城市入队 
 67     int l=1,r=1;q[1]=n;
 68     //如果队列非空 
 69     while(l<=r){
 70         //now取队头元素，队头指针++ 
 71         int now=q[l++];
 72         //k表示所有与now相连的边，pf[k]表示k对应边的终点 
 73         //如果边可以访问 
 74         for(int k=headf[now];k;k=nexf[k])if(!visf[pf[k]]){
 75             //把边的终点入队 
 76             q[++r]=pf[k];
 77             //将这个终点置为可以访问的 
 78             visf[pf[k]]=1;
 79         }
 80     }
 81 }
 82 //第三步：用每个城市的卖出价减从起点到这个城市买东西的最低价就是获利，遍历所有城市，取最大获利 
 83 int main()
 84 {
 85     scanf("%d%d",&n,&m);
 86     //a[i]表示城市i的商品价格 
 87     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
 88     for(int i=1;i<=m;i++){
 89         //如果单向，就添加一条边，如果双向，就添加两条边 
 90         int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
 91         addedge(x,y);addedgef(y,x);
 92         if(z==2)addedge(y,x),addedgef(x,y);
 93     }
 94     spfa();bfs();
 95     int ans=0;
 96     //遍历所有点，c[i]是从起点到i号城市买东西的最低价格，a[i]是i号城市物品的价格 
 97     for(int i=1;i<=n;i++)if(visf[i])ans=max(ans,a[i]-c[i]);
 98     printf("%d",ans);
 99     return 0;
100 }