动态规划6-最长上升子序列

一、心得

//这里就是我为人人，对于每一个i，寻找所有i可以去更新的对象

//这里就是人人为我，对于每一个i，所有的j都为这个i服务 

<algorithm>头文件里面的cout<<*max_element(dp,dp+n);//左闭右开 
方法可以注意下，求一个数组里面的最大值

二、题目及分析

这里主要不是讲最长上升子序列怎么求
这里主要讲“我为人人”和“人人为我”这两种递推思路，思路还有一种记忆性递归

问题描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

解题思路

如何把这个问题分解成子问题呢？经过分析，发现 “求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。假定MaxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：

MaxLen (1) = 1

MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1<i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1

这个状态转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

实际实现的时候，可以不必编写递归函数，因为从 MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2)，有了MaxLen(1)和MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……

递推表达式：
maxLen (k)表示长度为k的式子的最长上升子序列
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
初始状态：
maxLen (1) = 1
最终状态：
maxLen (n)
初始化：
maxLen(k) = 1 1<=k<=n

三、代码及结果

人人为我

 1 /*
 2 这里主要不是讲最长上升子序列怎么求
 3 这里主要讲“我为人人”和“人人为我”这两种递推思路 
 4 递推表达式：
 5 maxLen (k)表示长度为k的式子的最长上升子序列 
 6 maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
 7 初始状态：
 8 maxLen (1) = 1
 9 最终状态：
10 maxLen (n)
11 初始化：
12 maxLen(k) = 1   1<=k<=n 
13 */
14 
15 /*
16 题目及分析：
17  
18 */ 
19 //人人为我 
20 #include <algorithm>
21 #include <iostream>
22 using namespace std;
23 const int Maxn=1010;
24 int a[Maxn],dp[Maxn]; 
25 int main(){
26     int a[7]={1,7,3,5,9,4,8}; 
27     int n=7;
28     //初始化dp数组
29     for(int i=0;i<=n;i++) dp[i]=1;
30     //具体操作
31 
32     for(int i=1;i<n;i++){//每次求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
33         //这里就是人人为我，对于每一个i，所有的j都为这个i服务 
34         for(int j=0;j<i;j++){//察看以第j个数为终点的最长上升子序列
35             if(a[j]<a[i]){
36                 dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
37             }
38         }
39     } 
40     for(int i=0;i<n;i++)
41     {
42         cout<<dp[i]<<" ";    
43     } 
44     cout<<endl;
45     cout<<*max_element(dp,dp+n);//左闭右开 
46     return 0;
47 } //时间复杂度O(N2)

我为人人

 1 /*
 2 这里主要不是讲最长上升子序列怎么求
 3 这里主要讲“我为人人”和“人人为我”这两种递推思路 
 4 递推表达式：
 5 maxLen (k)表示长度为k的式子的最长上升子序列 
 6 maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
 7 初始状态：
 8 maxLen (1) = 1
 9 最终状态：
10 maxLen (n)
11 初始化：
12 maxLen(k) = 1   1<=k<=n 
13 */
14 
15 /*
16 题目及分析：
17  
18 */ 
19 //人人为我 
20 #include <algorithm>
21 #include <iostream>
22 using namespace std;
23 const int Maxn=1010;
24 int a[Maxn],dp[Maxn]; 
25 int main(){
26     int a[7]={1,7,3,5,9,4,8}; 
27     int n=7;
28     //初始化dp数组
29     for(int i=0;i<=n;i++) dp[i]=1;
30     //具体操作
31 
32     for(int i=0;i<n;i++){//每次求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
33         //这里就是我为人人，对于每一个i，寻找所有i可以去更新的对象 
34         for(int j=i+1;j<n;j++){//察看以第j个数为终点的最长上升子序列
35             if(a[j]>a[i]){
36                 dp[j]=max(dp[j],dp[i]+1);
37             }
38         }
39     } 
40     for(int i=0;i<n;i++)
41     {
42         cout<<dp[i]<<" ";    
43     } 
44     cout<<endl;
45     cout<<*max_element(dp,dp+n);//左闭右开 
46     return 0;
47 } //时间复杂度O(N2)