动态规划1--最长公共子序列

一、动态规划

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并
综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就
是动态规划法所采用的基本方法。

二、心得

递推公式的推导

递推公式的证明方法

代码的写法：把递推公式直接写进代码即可

三、题目

给出两个字符串，求出这样的一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。

Sample Input：样例输入

abcfbc abfcab

programming contest

abcd mnp

Sample Output：样例输出

4
2
0

四、分析

2、证明
S1[i-1]!= s2[j-1]时，MaxLen(S1,S2)不会比MaxLen(S1,S2j-1)
和MaxLen(S1i-1,S2)两者之中任何一个小，也不会比两者都大。
（1）不比任何一个小：MaxLen(S1,S2)字符串长于后两者
（2）也不会比两者都大：反证法，假设比两者都大：

若MaxLen(S1,S2)比MaxLen(S1,S2j-1)大，说明S2(j)这个字符与S1中的字符相等，并且S2(j)和这个相等的字符是最长公共子序列的最后一个。

若MaxLen(S1,S2)比MaxLen(S1i-1,S2)大，说明S1(i)这个字符与S2中的字符相等，并且S1(i)和这个相等的字符是最长公共子序列的最后一个。

上面两种情况都是最长公共子序列的最后一个，而这个最长公共子序列是MaxLen(S1,S2)的最长公共子序列，所以最后一个要相等。

那会得出S1[i]== s2[j]的结论，与假设冲突。

五、代码及结果

 1 /*
 2 最长公共子序列 
 3 1、递推公式：
 4 （分最后一个相同和最后一个不同来分析） 
 5 当i或j等于0，MaxLen(i,j)==0;
 6 当s1和s2的最后一个字符相同时，MaxLen(i,j)=MaxLen(i-1,j-1)+1;
 7 当s1和s2的最后一个字符不同时，MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) ); 
 8 2、证明 
 9 S1[i-1]!= s2[j-1]时，MaxLen(S1,S2)不会比MaxLen(S1,S2j-1)
10 和MaxLen(S1i-1,S2)两者之中任何一个小，也不会比两者都大。
11 （1）不比任何一个小：MaxLen(S1,S2)字符串长于后两者
12 （2）也不会比两者都大：反证法，假设比两者都大，那会得出S1[i-1]== s2[j-1]的结论，与假设冲突 
13 3、代码
14 直接写递推公式就好了 
15 */
16 /*
17 错误一：结果不对
18 for(j=1;j<=length2;j++)，漏了等号，所以都没执行到这来，所以结果不对 
19 */
20 #include <iostream>
21 #include <cstring> 
22 using namespace std;
23 char sz1[1000];//字符数组1 
24 char sz2[1000];//字符数组2 
25 int maxLen[1000][1000];
26 //MaxLen(i,j)表示s1的左边i个字符形成的子串，
27 //与s2左边的j个字符形成的子串的最长公共子序列的长度(i,j从0开始算） 
28 int main(){
29     freopen("in.txt","r",stdin); 
30     while(cin>>sz1>>sz2){
31         int length1=strlen(sz1);//求字符数组1的长度 
32         int length2=strlen(sz2);//求字符数组2的长度
33         int nTmp;
34         int i,j;
35         //初始化边界情况 
36         for(i=0;i<=length1;i++)
37             maxLen[i][0]=0;
38         for(j=0;j<=length2;j++)
39             maxLen[0][j]=0; 
40         //动态规划求解最长公共子序列  
41         for(i=1;i<=length1;i++){
42             for(j=1;j<=length2;j++){
43                 if(sz1[i-1]==sz2[j-1]){//字符数组从0开始存数据的 
44                     //当s1和s2的最后一个字符相同时，MaxLen(i,j)=MaxLen(i-1,j-1)+1; 
45                     maxLen[i][j]=maxLen[i-1][j-1]+1;
46                 }    
47                 else{
48                     //当s1和s2的最后一个字符不同时，MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) );  
49                      maxLen[i][j]=max(maxLen[i][j-1],maxLen[i-1][j]);
50                 }
51             } 
52                         
53         }
54         /*
55         for(i=1;i<=length1;i++){
56             for(j=1;j<=length2;j++){
57                 cout<<maxLen[i][j]<<" ";
58             }
59             cout<<endl;
60         }
61         */ 
62         //cout<<length1<<" "<<length2<<endl;
63         cout<<maxLen[length1][length2]<<endl;
64     }
65     return 0;
66 }