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概率论疑难问题---2、通俗理解泊松分布

一、总结

一句话总结：

二、通俗理解泊松分布

博客对应课程视频位置：2、通俗理解泊松分布-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/385

1、卖包子

给大家讲讲我爸爸职业的故事。

做木匠->开车->卖包子->卖包子->卖鸭脖子->去卖炒饭->开小牌馆

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个包子才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了周一到周五每日卖出的包子（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

均值为：

$$overline { X } = frac { 3 + 7 + 4 + 6 + 5 } { 5 } = 5$$

按道理讲均值是不错的选择，这样每天包子个数的偏离不会太大，但是如果每天准备5个包子的话，从统计表来看，至少有两天不够卖，40\%的时间不够卖：

你家的“包子店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2、老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示：

然后把周一的三个包子按照销售时间放在线段上：

把T均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）包子，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

T内那么卖出3个包子的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：

$$left( egin{array} { l } { 4 } \ { 3 } end{array} ight) p ^ { 3 } ( 1 - p ) ^ { 1 }$$

---

二项分布用符号b(x．n．p)，表示在n次试验中有x次成功，成功的概率为p。

二项分布的概率函数可写作：

$$b ( x . n . p ) = C _ { n } ^ { x } p ^ { x } (1-p) ^ { n - x }$$

式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数

$$C _ { n } ^ { x } = frac { n ! } { x ! ( n - x ) ! }$$

---

但是，如果把周二的七个包子放在线段上，分成四段就不够了：

从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把T分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

这样，T内卖出7个包子的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：

$$left( egin{array} { c } { 20 } \ { 7 } end{array} ight) p ^ { 7 } ( 1 - p ) ^ { 13 }$$

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成n份：

$$left( egin{array} { l } { n } \ { 7 } end{array} ight) p ^ { 7 } ( 1 - p ) ^ { n - 7 }$$

越细越好，用极限来表示：

$$lim _ { n ightarrow infty } left( egin{array} { c } { n } \ { 7 } end{array} ight) p ^ { 7 } ( 1 - p ) ^ { n - 7 }$$

更抽象一点，T时刻内卖出k个包子的概率为：

$$lim _ { n ightarrow infty } left( egin{array} { l } { n } \ { k } end{array} ight) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k }$$

3、p的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率p怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

$$E ( X ) = n p = mu$$

那么：

$$p = frac { mu } { n }$$

4、泊松分布

有了p=μ/n了之后，就有：

$$lim _ { n ightarrow infty } left( egin{array} { l } { n } \ { k } end{array} ight) p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } = lim _ { n ightarrow infty } left( egin{array} { l } { n } \ { k } end{array} ight) (frac { mu } { n } )^ { k }( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { n - k }$$

我们来算一下这个极限：

$$lim _ { n ightarrow infty } left( egin{array} { l } { n } \ { k } end{array} ight) (frac { mu } { n })^{k} ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { n - k } = lim _ { n ightarrow infty } frac { n ( n - 1 ) ( n - 2 ) cdots ( n - k + 1 ) } { k ! } frac { mu ^ { k } } { n ^ { k } } ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { n - k } = lim _ { n ightarrow infty } frac { mu ^ { k } } { k ! } frac { n } { n } cdot frac { n - 1 } { n } cdots frac { n - k + 1 } { n } ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { - k } ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { n }$$

其中：

$$lim _ { n ightarrow infty } frac { n } { n } cdot frac { n - 1 } { n } cdots frac { n - k + 1 } { n } ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { - k } = 1$$
$$lim _ { n ightarrow infty } ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { n } = e ^ { - mu }$$

所以：

$$lim _ { n ightarrow infty } left( egin{array} { l } { n } \ { k } end{array} ight) frac { mu } { n } ( 1 - frac { mu } { n } ) ^ { n - k } = frac { mu ^ { k } } { k ! } e ^ { - mu }$$

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在T时间内卖出k个包子的概率为：

$$P ( X = k ) = frac { mu ^ { k } } { k ! } e ^ { - mu }$$

一般来说，我们会换一个符号，让μ=λ，所以：

$$P ( X = k ) = frac { lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - lambda }$$

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5、包子店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道μ啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

$$overline { X } = 5$$

可以用它来近似：

$$overline { X } approx mu$$

于是：

$$P ( X = k ) = frac { 5 ^ { k } } { k ! } e ^ { - 5 }$$

画出概率质量函数的曲线就是：

可以看到，如果每天准备8个包子的话，那么足够卖的概率就是把前9个的概率加起来：

这样93%的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6、总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后卖包子都卖不过别人。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理（这个理论是说，你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度），我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

资料来源：https://www.matongxue.com/madocs/858/

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系列课程视频位置：

1、全概率公式和贝叶斯公式-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/382

2、通俗理解泊松分布-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/385

3、通俗理解协方差与相关系数-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/386

4、通俗理解概率论中的“矩”-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/387

5、通俗理解中心极限定理-范仁义-读书编程笔记
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6、极大似然估计-范仁义-读书编程笔记
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7、通俗理解最小二乘法-范仁义-读书编程笔记
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