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原文作者：苏剑林
标准思路
简单来说，(n)维球体积就是如下(n)重积分
[V_n(r)=int_{x_1^2+x_2^2+dots+x_n^2leq r^2}mathrm{d}x_1 mathrm{d}x_2dots mathrm{d}x_n
]
用更加几何的思路，我们通过一组平行面（(n−1)维的平行面）分割，使得n维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
[V_n (r)=int_{-r}^r V_{n-1} left(sqrt{r^2-t^2}
ight)mathrm{d}t
]
设(t=rsin heta_1)，就有
[V_n (r)=rint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} V_{n-1} left(rcos heta_1
ight)cos heta_1 mathrm{d} heta_1
]
迭代一次就有
[V_n (r)=r^2int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} V_{n-2} left(rcos heta_1cos heta_2
ight)cos heta_1cos^2 heta_2 mathrm{d} heta_1 mathrm{d} heta_2
]
迭代(n−1)次
[egin{align*}V_n (r)=&r^{n-1}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}dotsint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} V_1left(rcos heta_1cos heta_2dots cos heta_{n-1}
ight) imes\
&cos heta_1cos^2 heta_2dotscos^{n-1} heta_{n-1} mathrm{d} heta_1 mathrm{d} heta_2dots mathrm{d} heta_{n-1}end{align*}]
其中(V_1(r)=2r)，即两倍半径长的线段。从而
[V_n (r)=2r^{n}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}dotsint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} cos^2 heta_1cos^3 heta_2dotscos^{n} heta_{n-1} mathrm{d} heta_1 mathrm{d} heta_2dots mathrm{d} heta_{n-1}
]
完成这个积分，最终就得到n维球体积的公式，这个积分自然是可以求出来的（只是(n−1)个一维积分的乘积）。但是这样的步骤太不容易了，为了将其跟伽马函数联系起来，还要做很多工作。总的来说，这是一个不容易记忆、也不怎么漂亮的标准方法。
绝妙思路
有一个利用高斯积分的绝妙技巧，能够帮助我们直接将球体积跟伽马函数联系起来，整个过程堪称鬼斧神工，而且给人“仅此一家，别无分号”的感觉。据说这个技巧为物理系学生所知晓，我是从百读文库看到的，原始来源则是《热力学与统计力学》顾莱纳(德)，例5.2 理想气体的熵的统计计算。
这一绝妙的思路，始于我们用两种不同的思路计算高斯积分
[egin{align*}
G(n)=int_{-infty}^{+infty}dotsint_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty} expleft(-x_1^2-x_2^2-dots-x_n^2
ight)mathrm{d}x_1 mathrm{d}x_2 dots mathrm{d}x_n ag{1}
end{align*}]
一方面，将((1))当作(n)次累次积分，因为我们已经算得
[int_{-infty}^{+infty}exp(-t^2)mathrm{d}t=sqrt{pi}
]
而((1))只不过是这样的(n)个积分的乘积，因此
[egin{align*}
G(n)=pi^{n/2} ag{2}
end{align*}]
另一方面，将((1))当作(n)重积分，由于积分变量只是跟径向长度(r=sqrt{x_1^2+x_2^2+dots+x_n^2})有关的变量，因此很容易联想到球坐标，在(n)维空间中，可以称为“超球坐标”，不需要将超球坐标完整写出来，只需要注意到，球内的积分，可以化为先对“球壳”进行积分，然后再对球半径进行积分。
[egin{align*}
G(n)=int_{0}^{+infty}mathrm{d}rint_{S_n(r)}expleft(-r^2
ight)mathrm{d}S_n ag{3}
end{align*}]
这里的(S_n(r))是半径为(r)的(n)维球体表面（以及表面积，在不至于混淆的情况下，这里不作区分）。但是注意到，被积函数只跟(r)有关，因此对球表面进行积分，等价于原函数乘以球的表面积而已，因此((2))式的结果为
[egin{align*}
G(n)=int_{0}^{+infty}mathrm{d}rexpleft(-r^2
ight)S_n(r) ag{4}
end{align*}]
虽然我们不知道(n)维球的体积和表面积公式，但是我们可以肯定，(n)维球的体积一定正比于(r^n)，即有
[V_n (r)=V_n(1)r^n
]
球的表面积，就是球体积的一阶导数（考虑球壳分割），那么
[S_n (r)=n V_n(1)r^{n-1}
]
代入((4))，得到
[egin{align*}G(n)=&n V_n(1)int_{0}^{+infty}r^{n-1}expleft(-r^2
ight)mathrm{d}r\
=&frac{1}{2}n V_n(1)int_{0}^{+infty}(r^2)^{n/2-1}expleft(-r^2
ight)mathrm{d}(r^2)\
=&frac{1}{2}n V_n(1)int_{0}^{+infty}z^{n/2-1}expleft(-z
ight)mathrm{d}zquadleft(z=r^2
ight)\
=&frac{1}{2}n V_n(1)Gammaleft(frac{n}{2}
ight) ag{5}end{align*}]
结合((2))得
[pi^{n/2}=G(n)=frac{1}{2}n V_n(1)Gammaleft(frac{n}{2}
ight)
]
从而
[V_n(1)=frac{pi^{n/2}}{frac{1}{2}nGammaleft(dfrac{n}{2}
ight)}=frac{pi^{n/2}}{Gammaleft(dfrac{n}{2}+1
ight)}
]
最后
[Largeoxed{displaystyle V_n(r)=frac{pi^{n/2}}{Gammaleft(dfrac{n}{2}+1
ight)}r^n}
]
就这样得到了(n)维球体积公式！！对(r)求导得到(n)维球表面积公式
[Largeoxed{displaystyle S_n(r)=frac{2pi^{n/2}}{Gammaleft(dfrac{n}{2}
ight)}r^{n-1}}
]
结合前后两个方法，就得到
[largeoxed{displaystyle color{red}{frac{pi^{n/2}}{Gammaleft(dfrac{n}{2}+1
ight)}=2int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}dotsint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} cos^2 heta_1cos^3 heta_2dotscos^{n} heta_{n-1} mathrm{d} heta_1 mathrm{d} heta_2dots mathrm{d} heta_{n-1}}}
]