我们首先看到询问放置多少车，假设不存在矩形的情况。那么这就是一道二分图的板子，只需要对每个点进行的行与列连边跑匈牙利即可。但是这里存在了大量的矩形，我们就需要找到那些没有被矩形覆盖的位置并对他们的行列进行连边，但是我们注意到(n)有(10^4)，那么最坏情况连(n^2)条边是不现实的，我们考虑优化。我们发现我们完全可以先找到没有被覆盖的点组成的矩形，对行列分别建立线段树，使用线段树优化建图，在图上跑Dinic即可。
现在我们唯一的问题就是如何去寻找没有被矩形覆盖的位置。
我们考虑将矩形拆成两条线段，记录下(a)数组，表示当前往左有多少个连续的格子没有被覆盖，然后我们暴力枚举矩形的左边界的每一行，如果当前行与上一行的(a)不一样，证明上面那一行可以生成一个矩形，然后在线段树上连边。连完边我们直接跑最大流即可。
下面是代码：
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MAXM = 3e6 + 5;
const int inf = 1e9;
void read(int &x){
int f=1;x=0;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
int n , q;
int head[MAXN << 4] , nxt[MAXM] , to[MAXM] , edge[MAXM] , cnt = -1;
int rt1 , rt2 , tot , ch[MAXN << 4][2] , val[MAXN << 4];
void add(int u , int v , int w) {
nxt[++cnt] = head[u];head[u] = cnt;to[cnt] = v;edge[cnt] = w;
nxt[++cnt] = head[v];head[v] = cnt;to[cnt] = u;edge[cnt] = 0;
}
int d[MAXN << 4] , s , t;
bool bfs() {
memset(d , 0 , sizeof d);
queue <int> q;
q.push(s);d[s] = 1;
while(!q.empty()) {
int x = q.front();
q.pop();
for (int i = head[x]; i != -1; i = nxt[i]) {
if(edge[i] && !d[to[i]]) {
d[to[i]] = d[x] + 1;
if(to[i] == t) return true;
q.push(to[i]);
}
}
}
return false;
}
int Dinic(int x , int flow) {
if(x == t) return flow;
int rest = flow;
for (int i = head[x]; i != -1 && rest; i = nxt[i]) {
if(edge[i] && d[to[i]] == d[x] + 1) {
int k = Dinic(to[i] , min(rest , edge[i]));
if(!k) d[to[i]] = 0;
edge[i] -= k;
edge[i ^ 1] += k;
rest -= k;
}
}
return flow - rest;
}
int ans;
void work() {
while(bfs())
ans += Dinic(s , inf);
printf("%d" , ans);
}
//Dinic
void build(int l , int r , int &now , int ty) {
if(!now) now = ++tot;
val[now] = (r - l + 1);
if(l == r) {
if(!ty) add(s , now , 1);
else add(now , t , 1);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(l , mid , ch[now][0] , ty);
if(!ty) add(ch[now][0] , now , inf);
else if(ty) add(now , ch[now][0] , inf);
build(mid + 1 , r , ch[now][1] , ty);
if(!ty) add(ch[now][1] , now , inf);
else if(ty) add(now , ch[now][1] , inf);
}
vector <int> nod;
void find2(int l , int r , int now , int x , int y) {
if(l >= x && r <= y) {
nod.push_back(now);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(x <= mid) find2(l , mid , ch[now][0] , x , y);
if(y > mid) find2(mid + 1 , r , ch[now][1] , x , y);
}
void find1(int l , int r , int now , int x , int y) {
if(l >= x && r <= y) {
for (unsigned i = 0; i < nod.size(); ++i) {
add(now , nod[i] , inf);
}
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if(x <= mid) find1(l , mid , ch[now][0] , x , y);
if(y > mid) find1(mid + 1 , r , ch[now][1] , x , y);
}
void ADD_edges(int x1 , int y1 , int x2 , int y2) {
// printf("%d %d %d %d
" , x1 , y1 , x2 , y2);
nod.clear();
find2(1 , n , rt2 , y1 , y2);
find1(1 , n , rt1 , x1 , x2);
}
//Segment Tree
struct matr {
int x1 , x2 , y1 , ty;
matr() {}
matr(int U , int D , int L , int T) {
x1 = U;x2 = D;y1 = L;ty = T;
}
}E[MAXN];
int num , a[MAXN];
void build_gragh() {
fill(a , a + 1 + n , 1);
for (int i = 1; i <= num; ++i) {
if(E[i].ty == 1) {
for (int j = E[i].x1; j <= E[i].x2; ++j) a[j] = E[i].y1;
}
else {
int las = a[E[i].x1] , lasp = E[i].x1;
for (int j = E[i].x1; j <= E[i].x2; ++j) {
if(las != a[j]) {
if(las != E[i].y1)
ADD_edges(lasp , las , j - 1 , E[i].y1 - 1);
las = a[j] , lasp = j;
}
}
if(E[i].y1 != las)
ADD_edges(lasp , las , E[i].x2 , E[i].y1 - 1);
}
}
}
bool cmpmatr(matr x , matr y) {
if(x.y1 == y.y1) return x.ty > y.ty;
return x.y1 < y.y1;
}
//get white matrix
int main() {
memset(head , -1 , sizeof head);
read(n);read(q);
// if(n == 4096 && q == 1) {
// printf("4095");
// return 0;
// }
for (int i = 1; i <= q; ++i) {
int x1 , y1 , x2 , y2;
read(x1);read(y1);read(x2);read(y2);
E[++num] = matr(x1 , x2 , y1 , 0);
E[++num] = matr(x1 , x2 , y2 + 1 , 1);
}
E[++num] = matr(1 , n , n + 1 , 0);
sort(E + 1 , E + 1 + num , cmpmatr);
s = n * 5 + 1 , t = n * 5 + 2;
build(1 , n , rt1 , 0);build(1 , n , rt2 , 1);
build_gragh();
work();
return 0;
}